Чтобы составить уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = a, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберём их по порядку.

1. Найти значение функции в точке x = a:

   Подставим a = 4 в функцию f(x):

   f(4) = (2*4 - 5) / (5 - 4) = (8 - 5) / (1) = 3.

   Таким образом, точка касания имеет координаты (4, 3).

2. Найти производную функции f(x):

   Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования дроби:

   Если f(x) = g(x) / h(x), то f'(x) = (g'(x)h(x) - g(x)h'(x)) / (h(x))^2.

   В нашем случае g(x) = 2x - 5 и h(x) = 5 - x.

   Найдем производные g'(x) и h'(x):

   • g'(x) = 2;
   • h'(x) = -1.

   Теперь подставим в формулу для производной:

   f'(x) = (2(5 - x) - (2x - 5)(-1)) / (5 - x)^2.

   Упрощая, получаем:

   f'(x) = (10 - 2x + 2x - 5) / (5 - x)^2 = 5 / (5 - x)^2.

3. Найти значение производной в точке x = 4:

   Теперь подставим x = 4 в производную:

   f'(4) = 5 / (5 - 4)^2 = 5 / 1 = 5.

   Это значение производной в точке x = 4 является угловым коэффициентом касательной.

4. Составить уравнение касательной:

   Уравнение касательной имеет вид:

   y - y0 = m(x - x0),

   где (x0, y0) - точка касания, а m - угловой коэффициент.

   Подставим известные значения:

   y - 3 = 5(x - 4).

   Раскроем скобки:

   y - 3 = 5x - 20.

   Переносим 3 на правую сторону:

   y = 5x - 20 + 3.

   Таким образом, уравнение касательной:

   y = 5x - 17.

Итак, уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x = 4: y = 5x - 17.