Как можно вычислить интеграл ∫ dx/(3x-2)(6x+4)?

Математика 11 класс Интегралы и методы их вычисления вычисление интеграла интеграл ∫ dx/(3x-2)(6x+4) математика 11 класс методы интегрирования решение интегралов Новый

Чтобы вычислить интеграл ∫ dx/(3x-2)(6x+4), мы можем использовать метод разложения на простые дроби. Давайте рассмотрим шаги, необходимые для решения этого интеграла.

1. Разложение на простые дроби: Мы хотим представить функцию в виде суммы простых дробей. Для этого мы можем записать:

dx/(3x-2)(6x+4) = A/(3x-2) + B/(6x+4)

2. Умножение обеих сторон на знаменатель: Умножим обе стороны уравнения на (3x-2)(6x+4), чтобы избавиться от дробей:

1 = A(6x+4) + B(3x-2)

3. Раскрытие скобок: Раскроем скобки:

1 = 6Ax + 4A + 3Bx - 2B

4. Соберем подобные члены: Теперь сгруппируем все члены:

   1 = (6A + 3B)x + (4A - 2B)

5. Сравнение коэффициентов: Поскольку это равенство должно выполняться для всех x, мы можем приравнять коэффициенты:
• 6A + 3B = 0
• 4A - 2B = 1
6. Решение системы уравнений: Теперь решим систему уравнений:
1. Из первого уравнения выразим B: B = -2A.
2. Подставим B во второе уравнение: 4A - 2(-2A) = 1.
3. Это упростится до 4A + 4A = 1, то есть 8A = 1, откуда A = 1/8.
4. Теперь подставим A обратно, чтобы найти B: B = -2(1/8) = -1/4.
7. Запись разложения: Теперь у нас есть A и B, и мы можем записать:

dx/(3x-2)(6x+4) = 1/8(1/(3x-2)) - 1/4(1/(6x+4)).

8. Интегрирование: Теперь мы можем интегрировать каждую часть отдельно:
• ∫(1/8)(1/(3x-2))dx = (1/24)ln|3x-2| + C1
• ∫(-1/4)(1/(6x+4))dx = (-1/24)ln|6x+4| + C2
9. Собираем результат: Объединим результаты интегрирования:

∫ dx/(3x-2)(6x+4) = (1/24)ln|3x-2| - (1/24)ln|6x+4| + C.

10. Упрощение: Мы можем объединить логарифмы:

∫ dx/(3x-2)(6x+4) = (1/24)ln(|3x-2|/|6x+4|) + C.

Таким образом, окончательный ответ для интеграла ∫ dx/(3x-2)(6x+4) будет:

(1/24)ln(|3x-2|/|6x+4|) + C, где C - произвольная константа интегрирования.