Как решить интеграл ∫ cos(3/4 * x) * sin(x^2) * (1/4 * x) dx?
Прошу предоставить подробное решение.

Математика 11 класс Интегралы и методы их вычисления интеграл решение интеграла cos sin математика 11 класс интегрирование метод интегрирования подробное решение математические функции Новый

Решение интеграла ∫ cos(3/4 * x) * sin(x^2) * (1/4 * x) dx требует применения методов интегрирования, таких как интегрирование по частям и замена переменной. Давайте рассмотрим это шаг за шагом.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, давайте сделаем замену переменной, чтобы упростить интеграл. Мы можем взять:

• u = x^2
• Тогда du/dx = 2x, или dx = du/(2x).
• Также x = √u, поэтому (1/4 * x) = (1/4 * √u).

Теперь подставим это в наш интеграл:

∫ cos(3/4 * √u) * sin(u) * (1/4 * √u) * (du/(2√u))

Это упростится до:

(1/8) ∫ cos(3/4 * √u) * sin(u) du

Шаг 2: Интегрирование по частям

Теперь, чтобы решить интеграл ∫ cos(3/4 * √u) * sin(u) du, мы можем использовать метод интегрирования по частям. Напомним формулу:

∫ v du = uv - ∫ u dv

Выберем:

• u = sin(u) (тогда du = cos(u) du)
• dv = cos(3/4 * √u) du (тогда v = (4/3) * sin(3/4 * √u))

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫ cos(3/4 * √u) * sin(u) du = (4/3) * sin(3/4 * √u) * sin(u) - ∫ (4/3) * sin(3/4 * √u) * cos(u) du

Шаг 3: Повторное интегрирование

Теперь нам нужно снова интегрировать ∫ sin(3/4 * √u) * cos(u) du. Мы можем снова применить интегрирование по частям или использовать другой метод, например, подстановку, чтобы упростить этот интеграл.

После того, как мы решим оба интеграла, мы можем подставить обратно значение u = x^2, чтобы получить окончательный ответ в терминах x.

Шаг 4: Заключение

Это общий план решения. На каждом шаге нужно быть внимательным к знакам и правильно выполнять подстановки. Полное решение может занять много времени и потребует аккуратных расчетов, но следуя этим шагам, вы сможете решить интеграл.

Если у вас есть вопросы по конкретным шагам или вы хотите увидеть более детальное решение какого-то из этапов, пожалуйста, дайте знать!