Как можно вычислить первообразную функции f(x) = 2cos(2x) - sin(x)?

Заранее спасибо)

Математика 11 класс Интегрирование функций вычисление первообразной функция f(x) 2cos(2x) sin(x) математика 11 класс Новый

Для нахождения первообразной функции f(x) = 2cos(2x) - sin(x) мы будем использовать основные правила интегрирования. Первоначально, давайте разберем каждую часть функции по отдельности.

Шаг 1: Интегрирование первой части

• Первая часть функции - 2cos(2x). Чтобы найти ее первообразную, воспользуемся формулой интегрирования косинуса:
• ∫cos(kx) dx = (1/k)sin(kx) + C, где k - коэффициент перед x.
• В нашем случае k = 2, поэтому:
• ∫2cos(2x) dx = 2 * (1/2)sin(2x) = sin(2x).

Шаг 2: Интегрирование второй части

• Теперь рассмотрим вторую часть функции - -sin(x). Для нахождения ее первообразной используем формулу интегрирования синуса:
• ∫sin(x) dx = -cos(x) + C.
• Таким образом,:
• ∫-sin(x) dx = -(-cos(x)) = cos(x).

Шаг 3: Объединение результатов

• Теперь, когда мы нашли первообразные для обеих частей, объединим их:
• ∫f(x) dx = ∫(2cos(2x) - sin(x)) dx = sin(2x) + cos(x) + C, где C - произвольная константа интегрирования.

Ответ: Первообразная функции f(x) = 2cos(2x) - sin(x) равна F(x) = sin(2x) + cos(x) + C.