Как можно вычислить площадь криволинейной трапеции, которая ограничена следующими линиями:

• 5x - x²
• y = 0
• x = 0
• x = 2

Математика 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции вычисление площади интеграл 5x - x² график функции пределы интегрирования математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем это пошагово.

Шаг 1: Определение области интегрирования

Сначала нам нужно понять, какую область мы будем интегрировать. У нас есть следующие линии:

• y = 5x - x² (это парабола, открытая вниз)
• y = 0 (это ось x)
• x = 0 (это ось y)
• x = 2 (вертикальная линия)

Теперь, чтобы найти точки пересечения функции y = 5x - x² с осью x, мы приравняем ее к нулю:

1. 5x - x² = 0
2. x(5 - x) = 0
3. Таким образом, x = 0 и x = 5.

Однако, поскольку нас интересует область от x = 0 до x = 2, мы будем интегрировать от 0 до 2.

Шаг 2: Вычисление площади

Площадь криволинейной трапеции можно найти с помощью определенного интеграла. Площадь S будет равна интегралу функции от 0 до 2:

S = ∫(5x - x²) dx от 0 до 2

Шаг 3: Вычисление интеграла

Теперь давайте найдем интеграл:

1. Интеграл от 5x: (5/2)x²
2. Интеграл от -x²: (-1/3)x³

Таким образом, интеграл функции 5x - x² будет равен:

∫(5x - x²) dx = (5/2)x² - (1/3)x³ + C

Шаг 4: Подстановка пределов интегрирования

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 2:

1. Подставляем x = 2:
2. (5/2)(2)² - (1/3)(2)³ = (5/2)(4) - (1/3)(8) = 10 - (8/3) = 10 - 2.67 = 7.33
3. Подставляем x = 0:
4. (5/2)(0)² - (1/3)(0)³ = 0

Шаг 5: Вычисление площади

Теперь мы можем найти площадь:

S = 7.33 - 0 = 7.33

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 7.33 квадратных единиц.