Как вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=5-x, y=x+7 и y=0?

Математика 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции вычисление площади интегралы линии y=5-x линии y=x+7 графики функций математический анализ 11 класс математика Новый

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=5-x, y=x+7 и y=0, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Найдем точки пересечения линий.
   • Сначала найдем точки пересечения линий y=5-x и y=x+7. Для этого приравняем их:
   • 5-x = x+7
   • Переносим x в одну сторону и числа в другую:
   • 5 - 7 = 2x
   • -2 = 2x
   • x = -1. Подставим x=-1 в одну из уравнений, например, в y=5-x:
   • y = 5 - (-1) = 6. Таким образом, первая точка пересечения: (-1, 6).
   • Теперь найдем точку пересечения линий y=5-x и y=0:
   • 5-x = 0
   • x = 5. Подставим x=5 в y=0:
   • y = 0. Вторая точка пересечения: (5, 0).
   • Теперь найдем точку пересечения линий y=x+7 и y=0:
   • x + 7 = 0
   • x = -7. Подставим x=-7 в y=0:
   • y = 0. Третья точка пересечения: (-7, 0).
2. Определим область, ограниченную этими линиями.
   • Мы получили три точки: (-1, 6), (5, 0) и (-7, 0).
   • Нам нужно обратить внимание на то, что область, ограниченная этими линиями, будет находиться между линиями y=5-x и y=x+7.
3. Вычислим площадь.
   • Площадь криволинейной трапеции можно вычислить, используя интегралы.
   • Площадь S = интеграл от a до b (верхняя функция - нижняя функция) dx.
   • В нашем случае верхняя функция - это y=5-x, а нижняя - y=x+7.
   • Определим пределы интегрирования. Поскольку мы рассматриваем область от -1 до 5:
   • Теперь запишем интеграл:
   • S = интеграл от -1 до 5 ((5-x) - (x+7)) dx
   • Упростим выражение под интегралом:
   • (5 - x) - (x + 7) = 5 - x - x - 7 = -2x - 2.
   • Теперь вычислим интеграл:
   • S = интеграл от -1 до 5 (-2x - 2) dx.
   • Интегрируем:
   • Интеграл от -2x - 2 = -x^2 - 2x.
   • Теперь подставим пределы:
   • S = [(-5^2 - 2*5) - (-(-1^2) - 2*(-1))] = [(-25 - 10) - (1 + 2)] = [-35 - 3] = -38.
   • Поскольку площадь не может быть отрицательной, берем модуль: S = 38.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной заданными линиями, равна 38.