Как вычислить площадь криволинейной трапеции, определяемой уравнением y=1+cos2x при y=0, на интервале от x=0 до x=п/12?

Математика 11 класс Площадь криволинейной трапеции площадь криволинейной трапеции уравнение y=1+cos2x интервал от x=0 до x=п/12 вычисление площади математика 11 класс Новый

Чтобы вычислить площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции y = 1 + cos(2x) и осью x (где y = 0), на заданном интервале от x = 0 до x = π/12, мы будем использовать интеграл. Площадь под графиком функции между двумя точками на оси x можно найти с помощью определенного интеграла.

Следуйте этим шагам:

1. Найдите точки пересечения графика функции с осью x:
• Для этого решим уравнение y = 0:
• 1 + cos(2x) = 0
• cos(2x) = -1
• 2x = π + 2kπ, где k - целое число.
• Таким образом, x = (π/2) + kπ/2.
• В пределах нашего интервала от 0 до π/12, единственное решение - это x = π/2, которое не входит в наш интервал.
2. Вычислите определенный интеграл:
• Площадь S под графиком функции от 0 до π/12 будет равна:
• S = ∫(от 0 до π/12) (1 + cos(2x)) dx.
3. Решите интеграл:
• Интегрируем каждую часть:
• ∫(1) dx = x,
• ∫(cos(2x)) dx = (1/2)sin(2x).
• Таким образом, интеграл будет выглядеть так:
• ∫(1 + cos(2x)) dx = x + (1/2)sin(2x).
4. Подставьте пределы интегрирования:
• Теперь подставим верхний и нижний пределы:
• S = [x + (1/2)sin(2x)] (от 0 до π/12).
• Подставляем верхний предел x = π/12:
• S(π/12) = (π/12) + (1/2)sin(π/6) = (π/12) + (1/2)(1/2) = (π/12) + 1/4.
• Теперь подставляем нижний предел x = 0:
• S(0) = 0 + (1/2)sin(0) = 0.
5. Вычислите окончательную площадь:
• Теперь вычтем значение на нижнем пределе из значения на верхнем пределе:
• S = [(π/12) + 1/4] - 0 = (π/12) + 1/4.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции y = 1 + cos(2x) и осью x на интервале от x = 0 до x = π/12, равна (π/12) + 1/4.