Чтобы нарисовать графики функций у = х² + 2х + 3, у = |х² + 2х + 3| и у = |х² + 2|х| + 3, давайте разберем каждую из них по шагам.

Эта функция является квадратичной. Чтобы построить ее график, следуем этим шагам:

• Найдем вершину параболы: Формула для нахождения координат вершины параболы у = ax² + bx + c:
  • x_вершины = -b/2a = -2/2 = -1
  • y_вершины = f(-1) = (-1)² + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
• Найдем точки пересечения с осью Y: Подставим х = 0:
  • y = 0² + 2*0 + 3 = 3
• Найдем точки пересечения с осью X: Решим у = 0:
  • x² + 2x + 3 = 0. Дискриминант D = b² - 4ac = 2² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 (корней нет).
• Построим график: Парабола открыта вверх, имеет вершину в точке (-1, 2) и проходит через точку (0, 3). Начертим параболу, которая будет симметрична относительно оси x = -1.

Эта функция будет выглядеть как график предыдущей функции, но вся область ниже оси X будет отражена вверх:

• Поскольку у = х² + 2х + 3 не имеет действительных корней, график не пересекает ось X.
• Следовательно, график функции у = |х² + 2х + 3| будет таким же, как и у = х² + 2х + 3.

Эта функция немного сложнее из-за наличия абсолютного значения. Разделим на два случая:

• Случай 1: х ≥ 0
  • Тогда |х| = х, и функция становится у = х² + 2х + 3.
  • Это тот же график, что и в первом пункте.
• Случай 2: х < 0
  • Тогда |х| = -х, и функция становится у = х² - 2х + 3.
  • Находим вершину этой параболы:
    • x_вершины = -(-2)/2 = 1.
    • y_вершины = f(1) = 1² - 2*1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2.
  • Точки пересечения с осью Y:
    • y = 0² - 2*0 + 3 = 3.
  • Точки пересечения с осью X:
    • x² - 2x + 3 = 0. Дискриминант D = (-2)² - 4*1*3 = 4 - 12 = -8 (корней нет).

Таким образом, график функции у = |х² - 2х + 3| будет представлять собой параболу, открывающуюся вверх, с вершиной в точке (1, 2) для х < 0.

Итог: График у = |х² + 2|х| + 3 будет состоять из двух частей:

• Для х ≥ 0: график у = х² + 2х + 3.
• Для х < 0: график у = х² - 2х + 3.

Теперь вы можете нарисовать все три графика, используя полученные точки и свойства функций! Удачи!