Как найти критические точки функции У = (х^3) / (2•(х + 1)^2) и определить экстремумы этой функции?

Математика 11 класс Производная и экстремумы функции критические точки функция экстремумы математика 11 класс производная анализ функции максимумы минимумы график функции уравнение решение методы нахождения точки перегиба Новый

Для нахождения критических точек функции Y = (x^3) / (2*(x + 1)^2) и определения экстремумов, нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.

   Сначала найдем производную функции Y по x. Мы будем использовать правило деления производных:

   Если u = x^3 и v = 2*(x + 1)^2, то производная Y будет вычисляться по формуле:

   Y' = (u'v - uv') / v^2

   Теперь найдем u' и v':

   • u' = 3x^2
   • v = 2*(x + 1)^2, тогда v' = 2 * 2*(x + 1) * 1 = 4*(x + 1)

   Подставим это в формулу для Y':

   Y' = (3x^2 * 2*(x + 1)^2 - x^3 * 4*(x + 1)) / (2*(x + 1)^2)^2

   Упростим числитель:

   Y' = (6x^2*(x + 1)^2 - 4x^3*(x + 1)) / (4*(x + 1)^4)

   Y' = (2x^2*(3(x + 1) - 2x)) / (4*(x + 1)^4)

   Y' = (2x^2*(3 + 3x - 2x)) / (4*(x + 1)^4)

   Y' = (2x^2*(3 + x)) / (4*(x + 1)^4)

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. Для нахождения критических точек приравняем Y' к нулю:

   (2x^2*(3 + x)) = 0

   Это уравнение равно нулю, если:

   • 2x^2 = 0, что дает x = 0;
   • 3 + x = 0, что дает x = -3.

   Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -3.

3. Определить, являются ли критические точки экстремумами.

   Для этого мы можем использовать тест на знак производной или второй производный тест. Рассмотрим тест на знак производной:

   Нам нужно проверить знак производной Y' на интервалах, определяемых критическими точками:

   • Интервал (-∞, -3)
   • Интервал (-3, 0)
   • Интервал (0, +∞)

   Выберем тестовые точки:

   • Для интервала (-∞, -3), например, x = -4: Y'(-4) > 0 (положительный).
   • Для интервала (-3, 0), например, x = -2: Y'(-2) < 0 (отрицательный).
   • Для интервала (0, +∞), например, x = 1: Y'(1) > 0 (положительный).

   Теперь подводим итоги:

   • На интервале (-∞, -3) производная положительна, на интервале (-3, 0) отрицательна, значит, в точке x = -3 максимум.
   • На интервале (-3, 0) производная отрицательна, на интервале (0, +∞) положительна, значит, в точке x = 0 минимум.

Таким образом, мы нашли критические точки x = -3 (максимум) и x = 0 (минимум) функции Y.