Как найти точки минимума функции f(x) = x^3 + 3x^2 и точки максимума функции f(x) = x^3 - 3x^2?

Пожалуйста, помогите с подробным решением!

Математика 11 класс Производная и экстремумы функции точки минимума точки максимума функция f(x) производная функции нахождение экстремумов анализ функции математический анализ решение уравнения график функции свойства функций Новый

Чтобы найти точки минимума и максимума функции, нам нужно использовать метод нахождения производной. Мы будем следовать следующим шагам:

Шаг 1: Найти производную функции.

Для каждой функции мы сначала найдем производную.

• Для функции f(x) = x^3 + 3x^2:
• Производная f'(x) = 3x^2 + 6x.
• Для функции f(x) = x^3 - 3x^2:
• Производная f'(x) = 3x^2 - 6x.

Шаг 2: Найти критические точки.

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует.

• Для первой функции f(x) = x^3 + 3x^2:
1. Решим уравнение 3x^2 + 6x = 0:
2. Вынесем общий множитель: 3x(x + 2) = 0.
3. Таким образом, критические точки: x = 0 и x = -2.
• Для второй функции f(x) = x^3 - 3x^2:
1. Решим уравнение 3x^2 - 6x = 0:
2. Вынесем общий множитель: 3x(x - 2) = 0.
3. Таким образом, критические точки: x = 0 и x = 2.

Шаг 3: Определить характер критических точек.

Для этого мы воспользуемся вторым производным тестом. Находим вторые производные для обеих функций.

• Для первой функции f(x) = x^3 + 3x^2:
• Вторая производная f''(x) = 6x + 6.
• Теперь подставим критические точки:
1. f''(0) = 6(0) + 6 = 6 (положительно, значит, минимум в x = 0).
2. f''(-2) = 6(-2) + 6 = -6 (отрицательно, значит, максимум в x = -2).
• Для второй функции f(x) = x^3 - 3x^2:
• Вторая производная f''(x) = 6x - 6.
• Теперь подставим критические точки:
1. f''(0) = 6(0) - 6 = -6 (отрицательно, значит, максимум в x = 0).
2. f''(2) = 6(2) - 6 = 6 (положительно, значит, минимум в x = 2).

Итак, результаты:

• Для функции f(x) = x^3 + 3x^2:
• Минимум в точке x = 0.
• Максимум в точке x = -2.
• Для функции f(x) = x^3 - 3x^2:
• Максимум в точке x = 0.
• Минимум в точке x = 2.

Таким образом, мы нашли точки минимума и максимума для обеих функций, используя производные и второй производный тест.