Как найти площадь криволинейной трапеции, описанной уравнением y=2x^2, между вертикальными линиями x=0 и x=1, а также горизонтальной линией y=0, применяя определённый интеграл?

Математика 11 класс Интегралы и их применение площадь криволинейной трапеции уравнение y=2x^2 определенный интеграл интегрирование вертикальные линии горизонтальная линия математический анализ Новый

Чтобы найти площадь криволинейной трапеции, описанной уравнением y=2x^2 между вертикальными линиями x=0 и x=1, а также горизонтальной линией y=0, мы будем использовать определённый интеграл. Давайте разберёмся шаг за шагом.

1. Определение границ интегрирования: Мы рассматриваем область, ограниченную вертикальными линиями x=0 и x=1, а также горизонтальной линией y=0. Это значит, что мы будем интегрировать от x=0 до x=1.
2. Функция, определяющая верхнюю границу: В нашем случае верхней границей является функция y=2x^2. Это означает, что для каждого значения x, y будет равно 2x^2. Мы будем находить площадь под этой кривой.
3. Запись определённого интеграла: Площадь S под кривой от x=0 до x=1 можно выразить через определённый интеграл:

   S = ∫[0, 1] (2x^2) dx

4. Вычисление интеграла: Теперь нам нужно вычислить этот интеграл. Мы знаем, что интеграл от x^n равен (x^(n+1))/(n+1). В нашем случае n=2, поэтому:

   ∫(2x^2) dx = 2 * (x^3)/3 = (2/3)x^3

5. Подставляем границы интегрирования: Теперь подставим границы x=0 и x=1 в полученную функцию:

   S = [(2/3)(1^3)] - [(2/3)(0^3)] = (2/3)(1) - 0 = 2/3

6. Ответ: Таким образом, площадь криволинейной трапеции, описанной уравнением y=2x^2 между x=0 и x=1, равна 2/3.

Если у вас остались вопросы по решению, не стесняйтесь спрашивать!