Почему и каким образом вычисляется интеграл от -1 до 0 функции sqrt(1-x^2), который равен π/4?

Математика 11 класс Интегралы и их применение интеграл вычисление интеграла функция sqrt(1-x^2) интеграл от -1 до 0 π/4 математика 11 класс определенный интеграл Новый

Чтобы понять, почему интеграл от -1 до 0 функции sqrt(1-x^2) равен π/4, давайте рассмотрим, что представляет собой эта функция и как мы можем вычислить интеграл.

Функция sqrt(1-x^2) описывает верхнюю часть круга радиуса 1, центрированного в начале координат. Уравнение круга имеет вид x^2 + y^2 = 1. Если мы выразим y через x, мы получим y = sqrt(1-x^2), что и соответствует нашей функции.

Теперь, чтобы найти интеграл от -1 до 0, мы фактически ищем площадь под кривой от x = -1 до x = 0. Эта площадь составляет четверть круга радиуса 1, так как мы рассматриваем только верхнюю часть круга в первой и второй четвертях.

Теперь давайте рассмотрим, как вычисляется этот интеграл:

1. Запишем интеграл: I = ∫(-1 до 0) sqrt(1 - x^2) dx.
2. Поскольку мы знаем, что это площадь четверти круга радиуса 1, мы можем сразу сказать, что площадь полного круга равна π * r^2, где r = 1. Таким образом, площадь полного круга равна π.
3. Площадь четверти круга будет равна π/4.
4. Поэтому, интеграл I равен π/4.

Таким образом, интеграл от -1 до 0 функции sqrt(1-x^2) равен π/4, так как он представляет собой площадь четверти круга радиуса 1.