Как найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы, заданной уравнением 9x^2-16y^2=576? Также нужно построить гиперболу.

Математика 11 класс Гипербола полуоси гиперболы координаты фокусов эксцентриситет гиперболы уравнение асимптот построение гиперболы Новый

Давайте разберем, как найти полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет и уравнение асимптот гиперболы, заданной уравнением 9x^2 - 16y^2 = 576.

Сначала преобразуем уравнение гиперболы к стандартному виду. Для этого разделим все члены уравнения на 576:

• 9x^2/576 - 16y^2/576 = 1
• x^2/(576/9) - y^2/(576/16) = 1

Теперь упростим дроби:

• 576/9 = 64, так что x^2/64
• 576/16 = 36, так что y^2/36

Таким образом, уравнение гиперболы в стандартной форме будет выглядеть так:

x^2/64 - y^2/36 = 1

Теперь мы можем определить параметры гиперболы:

• a^2 = 64 → a = √64 = 8
• b^2 = 36 → b = √36 = 6

Теперь найдем полуоси:

• Длина полуоси по x (a) = 8
• Длина полуоси по y (b) = 6

Теперь найдем координаты фокусов. Для гиперболы координаты фокусов находятся по формуле:

c = √(a^2 + b^2)

• c = √(64 + 36) = √100 = 10

Координаты фокусов находятся по формуле (±c, 0):

• (10, 0) и (-10, 0)

Теперь найдем эксцентриситет гиперболы, который определяется как:

e = c/a

• e = 10/8 = 1.25

Теперь найдем уравнения асимптот. Уравнения асимптот для гиперболы имеют вид:

• y = ±(b/a)x

Подставим значения b и a:

• y = ±(6/8)x
• y = ±(3/4)x

Таким образом, уравнения асимптот гиперболы:

• y = (3/4)x
• y = -(3/4)x

Теперь, чтобы построить гиперболу, нужно нарисовать координатную плоскость и отметить следующие элементы:

• Центр гиперболы в точке (0, 0).
• Фокусы в точках (10, 0) и (-10, 0).
• Полуоси по x и y: от центра отложите 8 единиц вправо и влево (±8 по оси x) и 6 единиц вверх и вниз (±6 по оси y).
• Нарисуйте асимптоты, используя уравнения, которые мы нашли.
• Нарисуйте гиперболу, которая будет открыта по оси x, и будет стремиться к асимптотам.

Таким образом, мы нашли все необходимые параметры гиперболы и описали процесс её построения.