Как найти решение уравнения a + a^-1 = 4 и определить значение a^5 + a^-5?

Математика 11 класс Уравнения и неравенства решение уравнения a + a^-1 = 4 значение a^5 + a^-5 математика 11 класс algebra уравнения математические задачи Новый

Чтобы решить уравнение a + a^-1 = 4, начнем с того, что мы можем выразить a^-1 через a.

1. Умножим обе стороны уравнения на a (предполагая, что a не равно нулю):

• a^2 + 1 = 4a

2. Переносим все члены в одну сторону уравнения:

• a^2 - 4a + 1 = 0

3. Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

• a = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Здесь a = 1, b = -4, c = 1.

4. Подставим значения:

• b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 * 1 * 1 = 16 - 4 = 12

5. Теперь подставим это в формулу:

• a = (4 ± √12) / 2
• √12 = 2√3
• a = (4 ± 2√3) / 2 = 2 ± √3

Таким образом, у нас есть два возможных значения для a: a = 2 + √3 и a = 2 - √3.

Теперь давайте найдем a^5 + a^-5. Для этого нам сначала нужно найти a^2 и a^3, а затем использовать формулы для вычисления a^5 и a^-5.

6. Мы знаем, что a + a^-1 = 4. Используем это для нахождения a^2 + a^-2:

• (a + a^-1)^2 = a^2 + 2 + a^-2
• 4^2 = a^2 + 2 + a^-2
• 16 = a^2 + 2 + a^-2
• a^2 + a^-2 = 16 - 2 = 14

7. Теперь найдем a^3 + a^-3:

• a^3 + a^-3 = (a + a^-1)(a^2 + a^-2) - (a + a^-1)
• a^3 + a^-3 = 4 * 14 - 4 = 56 - 4 = 52

8. Теперь можем найти a^5 + a^-5:

• a^5 + a^-5 = (a + a^-1)(a^4 + a^-4) - (a^3 + a^-3)

Сначала найдем a^4 + a^-4:

• a^4 + a^-4 = (a^2 + a^-2)^2 - 2 = 14^2 - 2 = 196 - 2 = 194

Теперь подставим это значение:

• a^5 + a^-5 = 4 * 194 - 52 = 776 - 52 = 724

Таким образом, a^5 + a^-5 = 724.