Чтобы найти точки перегиба функции y = x^3 - 6x^2 + 4, нам нужно выполнить несколько шагов. Точки перегиба определяются теми значениями x, при которых вторая производная функции равна нулю или не существует, и где происходит изменение знака второй производной. Давайте рассмотрим процесс более подробно.

1. Находим первую производную функции. Первая производная показывает скорость изменения функции. Мы найдем первую производную y:
• y' = (x^3)' - (6x^2)' + (4)' = 3x^2 - 12x.
2. Находим вторую производную функции. Вторая производная показывает, как изменяется первая производная:
• y'' = (3x^2)' - (12x)' = 6x - 12.
3. Находим точки, где вторая производная равна нулю. Установим уравнение:
• 6x - 12 = 0.
• Решим это уравнение:
• 6x = 12
• x = 2.
4. Проверяем изменение знака второй производной. Нам нужно определить, изменяет ли вторая производная знак в окрестности найденной точки x = 2:
• Возьмем значение x < 2, например, x = 1:
• y''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6 (отрицательное).
• Теперь возьмем значение x > 2, например, x = 3:
• y''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6 (положительное).
5. Заключение. Вторая производная меняет знак с отрицательного на положительный в точке x = 2. Это значит, что в данной точке функция имеет точку перегиба.

Таким образом, точка перегиба функции y = x^3 - 6x^2 + 4 находится в точке x = 2.