Как найти все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень: ax + корень из (-8 - 6x - x^2) = 2a + 1?

Математика 11 класс Уравнения и неравенства значения а уравнение единственный корень математика решение уравнения Новый

Для того чтобы найти все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень, начнем с анализа данного уравнения:

Уравнение: ax + корень из (-8 - 6x - x^2) = 2a + 1

Мы видим, что в уравнении присутствует корень, который будет определять условия для существования корня. Чтобы корень существовал, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

-8 - 6x - x^2 ≥ 0

Решим неравенство:

1. Перепишем его в стандартной форме: x^2 + 6x + 8 ≤ 0.
2. Найдем корни квадратного уравнения x^2 + 6x + 8 = 0 с помощью дискриминанта:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * 8 = 36 - 32 = 4.

Корни уравнения:

• x1 = (-b + √D) / 2a = (-6 + 2) / 2 = -2;
• x2 = (-b - √D) / 2a = (-6 - 2) / 2 = -4.

Теперь мы имеем корни x1 = -2 и x2 = -4. Поскольку это квадратное неравенство, оно будет неотрицательным на промежутке между корнями:

-4 ≤ x ≤ -2.

Теперь, чтобы уравнение имело единственный корень, необходимо, чтобы левая часть уравнения была равна правой части в одной точке. Это возможно, когда функция ax + корень из (-8 - 6x - x^2) касается линии y = 2a + 1.

Для этого необходимо, чтобы производная левой части уравнения равнялась нулю в точке касания. Найдем производную:

y = ax + √(-8 - 6x - x^2).

Находим производную:

dy/dx = a + (1/2) * (-8 - 6x - x^2)^(-1/2) * (-6 - 2x).

Приравниваем производную к нулю:

a + (1/2) * (-8 - 6x - x^2)^(-1/2) * (-6 - 2x) = 0.

Теперь решим это уравнение для x в пределах -4 ≤ x ≤ -2. Чтобы упростить задачу, можно подставить значения x в производную и найти соответствующее значение a.

Например, подставим x = -2:

a + (1/2) * 0 = 0, отсюда a = 0.

Теперь подставим x = -4:

a + (1/2) * 0 = 0, отсюда a = 0.

Таким образом, единственным значением a, при котором уравнение имеет единственный корень, является:

a = 0.