Чтобы определить промежутки, на которых функция возрастает, необходимо найти производную функции и исследовать ее знак. Давайте рассмотрим шаги решения:

1. Найдите производную функции:
   • Функция: f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5
   • Производная: f'(x) = (2x^3)' - (3x^2)' + (5)'
   • Воспользуемся правилом дифференцирования: (x^n)' = nx^(n-1)
   • f'(x) = 6x^2 - 6x + 0
   • Итак, f'(x) = 6x^2 - 6x
2. Найдите критические точки:
   • Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не определена.
   • Решаем уравнение: 6x^2 - 6x = 0
   • 6x(x - 1) = 0
   • Отсюда x = 0 или x = 1
3. Исследуйте знак производной на промежутках:
   • Разделим числовую ось на промежутки: (-∞, 0), (0, 1), (1, +∞)
   • Выбираем тестовые точки из каждого промежутка и определяем знак производной:
   • Для промежутка (-∞, 0): выберем x = -1
   • f'(-1) = 6(-1)^2 - 6(-1) = 6 + 6 = 12 (положительное)
   • Для промежутка (0, 1): выберем x = 0.5
   • f'(0.5) = 6(0.5)^2 - 6(0.5) = 1.5 - 3 = -1.5 (отрицательное)
   • Для промежутка (1, +∞): выберем x = 2
   • f'(2) = 6(2)^2 - 6(2) = 24 - 12 = 12 (положительное)
4. Определите промежутки возрастания:
   • Функция возрастает на тех промежутках, где производная положительна.
   • Следовательно, функция возрастает на промежутках (-∞, 0) и (1, +∞).

Таким образом, функция f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 5 возрастает на промежутках (-∞, 0) и (1, +∞).