Чтобы определить промежутки возрастания функции y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 15, нам нужно следовать нескольким шагам. Давайте рассмотрим их подробно:

1. Найдем производную функции. Производная функции показывает, как меняется значение функции при изменении аргумента. Для данной функции y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 15, найдем производную:
• y' = d/dx (2x^3) + d/dx (3x^2) - d/dx (36x) + d/dx (15)
• y' = 6x^2 + 6x - 36
2. Найдем критические точки. Критические точки - это точки, в которых производная равна нулю или не существует. Для этого решим уравнение y' = 0:
• 6x^2 + 6x - 36 = 0
• Упростим уравнение, разделив все члены на 6:
• x^2 + x - 6 = 0
• Теперь можно решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:
• x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 1, c = -6.
• Подставляем значения: x = (-1 ± √(1 + 24)) / 2 = (-1 ± √25) / 2 = (-1 ± 5) / 2.
• Таким образом, получаем два корня: x1 = 2 и x2 = -3.
3. Определим знаки производной на промежутках. Теперь у нас есть критические точки x = -3 и x = 2. Разделим числовую прямую на три промежутка:
• (-∞, -3)
• (-3, 2)
• (2, +∞)
4. Теперь выберем тестовые точки из каждого промежутка и подставим их в производную y' для определения знака:
• Для промежутка (-∞, -3), возьмем x = -4: y'(-4) = 6(-4)^2 + 6(-4) - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 (положительно).
• Для промежутка (-3, 2), возьмем x = 0: y'(0) = 6(0)^2 + 6(0) - 36 = -36 (отрицательно).
• Для промежутка (2, +∞), возьмем x = 3: y'(3) = 6(3)^2 + 6(3) - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 (положительно).
5. Сделаем вывод о промежутках возрастания и убывания. На основе знаков производной можно сделать вывод:
• На промежутке (-∞, -3) функция возрастает.
• На промежутке (-3, 2) функция убывает.
• На промежутке (2, +∞) функция снова возрастает.

Таким образом, функция y = 2x^3 + 3x^2 - 36x + 15 возрастает на промежутках (-∞, -3) и (2, +∞).