Чтобы построить график функции y = (2x + 5) / (2x^2 + 5x),следуйте этим шагам:

Область определения функции - это все значения x, при которых функция определена. В данном случае, функция будет неопределена, если знаменатель равен нулю. Найдем корни знаменателя:

• 2x^2 + 5x = 0
• Можно вынести x: x(2x + 5) = 0
• Следовательно, x = 0 или 2x + 5 = 0.
• Решая 2x + 5 = 0, получаем x = -5/2.

Таким образом, функция не определена в точках x = 0 и x = -5/2. Область определения: x ∈ R, x ≠ 0, x ≠ -5/2.

Найдите вертикальные асимптоты, которые возникают в точках, где функция не определена:

• Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = -5/2.

Теперь найдите горизонтальную асимптоту, если таковая имеется. Для этого исследуем поведение функции при x стремящемся к бесконечности:

• y = (2x + 5) / (2x^2 + 5x).
• При больших значениях x, y стремится к 0, так как степень числителя меньше степени знаменателя.

Таким образом, горизонтальная асимптота: y = 0.

Чтобы найти нули функции, приравняем числитель к нулю:

• 2x + 5 = 0
• 2x = -5
• x = -5/2.

Таким образом, функция имеет ноль в точке x = -5/2.

Выберите несколько значений x для построения графика:

• x = -3, y = (2*(-3) + 5) / (2*(-3)^2 + 5*(-3)) = (-6 + 5) / (18 - 15) = -1/3.
• x = -1, y = (2*(-1) + 5) / (2*(-1)^2 + 5*(-1)) = (-2 + 5) / (2 - 5) = 3 / -3 = -1.
• x = 1, y = (2*1 + 5) / (2*1^2 + 5*1) = (2 + 5) / (2 + 5) = 7 / 7 = 1.
• x = 2, y = (2*2 + 5) / (2*2^2 + 5*2) = (4 + 5) / (8 + 10) = 9 / 18 = 1/2.

Теперь, имея точки и информацию об асимптотах, можно построить график:

• Нанесите на координатную плоскость найденные точки.
• Проведите вертикальные асимптоты в точках x = 0 и x = -5/2.
• Проведите горизонтальную асимптоту y = 0.
• Соедините точки плавной линией, учитывая асимптоты.

Таким образом, вы получите график функции y = (2x + 5) / (2x^2 + 5x).