Как провести полное исследование графика функции y=4x/(x+1)^2?

Математика 11 класс Исследование функции исследование графика функции график функции y=4x/(x+1)^2 полное исследование функции математика 11 класс анализ функции свойства функции поведение функции экстремумы функции Асимптоты функции Новый

Чтобы провести полное исследование графика функции y = 4x / (x + 1)^2, нам нужно выполнить несколько шагов. Давайте разберем их по порядку.

1. Определение области определения функции

Сначала определим, где функция определена. Функция будет неопределена, когда знаменатель равен нулю. То есть:

• (x + 1)^2 = 0

Это уравнение имеет решение x = -1. Таким образом, область определения функции:

• x ∈ R, x ≠ -1

2. Нахождение асимптот

Теперь найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.

• Вертикальная асимптота: Она будет находиться в точке x = -1, так как в этой точке функция не определена.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты рассмотрим предел функции при x, стремящемся к бесконечности:

lim (x → ∞) y = lim (x → ∞) 4x / (x + 1)^2 = 0. Таким образом, горизонтальная асимптота: y = 0.

3. Нахождение производной

Теперь найдем первую производную функции для определения критических точек и анализа поведения функции:

• Используем правило деления:

y' = (f'g - fg') / g^2, где f = 4x, g = (x + 1)^2.

После вычислений получаем:

• y' = (4(x + 1)^2 - 4x * 2(x + 1)) / (x + 1)^4.

Упростим производную и найдем критические точки, приравняв y' к нулю.

4. Нахождение знаков производной

Определим, где производная положительна, а где отрицательна, чтобы выяснить, где функция возрастает, а где убывает. Это поможет нам построить график функции.

5. Нахождение значений функции в критических точках

Подставим найденные критические точки в исходную функцию для определения значений y.

6. Исследование поведения функции на границах области определения

Изучим, как ведет себя функция при приближении к точкам, где она не определена (x = -1) и на бесконечности.

7. Построение графика функции

Собрав всю информацию, мы можем построить график функции, учитывая:

• Область определения
• Асимптоты
• Критические точки
• Знаки производной
• Поведение на границах области определения

В результате мы получим полный график функции y = 4x / (x + 1)^2, который можно будет проанализировать и сделать выводы о его свойствах.