Как выполнить исследование на монотонность функции y=4x^2+4x-4 с подробным решением и графическим изображением?

Математика 11 класс Исследование функции исследование монотонности функции функция y=4x^2+4x-4 подробное решение графическое изображение функции математика 11 класс Новый

Чтобы выполнить исследование на монотонность функции y = 4x^2 + 4x - 4, следуем следующим шагам:

Шаг 1: Найдем производную функции

Для начала, нам нужно найти производную функции y по x. Это позволит нам определить, где функция возрастает, а где убывает.

Производная y будет равна:

y' = d(4x^2 + 4x - 4)/dx = 8x + 4.

Шаг 2: Найдем критические точки

Критические точки находятся там, где производная равна нулю или не существует. В данном случае, мы решаем уравнение:

8x + 4 = 0.

Решим это уравнение:

• 8x = -4
• x = -4/8 = -1/2.

Таким образом, у нас есть одна критическая точка: x = -1/2.

Шаг 3: Исследуем знак производной

Теперь определим знак производной на интервалах, которые образуются критической точкой. У нас есть два интервала:

• (-∞, -1/2)
• (-1/2, +∞)

Теперь подставим значения из каждого интервала в производную:

• Для x < -1/2, например, x = -1:
• y' = 8(-1) + 4 = -8 + 4 = -4 (отрицательно).
• Для x > -1/2, например, x = 0:
• y' = 8(0) + 4 = 0 + 4 = 4 (положительно).

Шаг 4: Определяем монотонность

На основе знака производной мы можем сделать выводы о монотонности функции:

• На интервале (-∞, -1/2) функция убывает, так как производная отрицательна.
• На интервале (-1/2, +∞) функция возрастает, так как производная положительна.

Шаг 5: Графическое изображение

Теперь, чтобы изобразить график функции, можно воспользоваться графическим редактором или калькулятором. Важно отметить, что функция является параболой, открытой вверх, с минимумом в точке x = -1/2.

График функции будет выглядеть следующим образом:

• Точка минимума: (-1/2, y(-1/2)), где y(-1/2) = 4(-1/2)^2 + 4(-1/2) - 4 = 1 - 2 - 4 = -5.
• График будет убывать до точки (-1/2, -5) и возрастать после этой точки.

Таким образом, мы завершили исследование на монотонность функции y = 4x^2 + 4x - 4. Функция убывает на интервале (-∞, -1/2) и возрастает на интервале (-1/2, +∞).