Как решить неравенство f(|x - 2|) < f(|x - 4|), если известно, что функция y = f(x) возрастает на R?

Математика 11 класс Неравенства и функции неравенство решение неравенства функция возрастает f(x) математика |x - 2| |x - 4| анализ функции методы решения Новый

Привет! Давай разберемся с этим неравенством с энтузиазмом и ясностью!

Мы знаем, что функция f(x) возрастает на всей числовой прямой. Это значит, что если x1 < x2, то f(x1) < f(x2). Теперь применим это к нашему неравенству:

Неравенство выглядит так:

• f(|x - 2|) < f(|x - 4|)

Поскольку функция f возрастает, мы можем убрать f, но при этом нужно учесть, что нам нужно сравнить аргументы функции:

Следовательно, неравенство можно переписать так:

• |x - 2| < |x - 4|

Теперь давай проанализируем, что означает это неравенство. Мы можем рассмотреть два случая в зависимости от того, где находится x относительно 2 и 4.

1. Случай 1: x < 2
• Тогда |x - 2| = 2 - x и |x - 4| = 4 - x.
• Неравенство становится: 2 - x < 4 - x.
• Это всегда верно, так как 2 < 4.
2. Случай 2: 2 ≤ x < 4
• Тогда |x - 2| = x - 2 и |x - 4| = 4 - x.
• Неравенство становится: x - 2 < 4 - x.
• Решим его: 2x < 6, следовательно, x < 3.
• Таким образом, x должен быть в интервале [2, 3).
3. Случай 3: x ≥ 4
• Тогда |x - 2| = x - 2 и |x - 4| = x - 4.
• Неравенство становится: x - 2 < x - 4.
• Это не может быть верно, так как -2 < -4 не выполняется.

Теперь мы можем подвести итог:

Решение неравенства f(|x - 2|) < f(|x - 4|) будет следующим:

• x < 2 (все значения меньше 2)
• или 2 ≤ x < 3 (значения от 2 до 3)

Итак, окончательный ответ: x < 3.

Не забывай, что математика — это не только формулы, но и логика! Удачи тебе в учебе, и пусть твои успехи будут яркими, как звезды на небе!