Задача В8

Рассмотрим совокупность неравенств:

1. x² ≥ 25
2. x² - 6x < 0

Первое неравенство x² ≥ 25 можно переписать как:

• x ≤ -5
• x ≥ 5

Это означает, что x может принимать значения, которые меньше или равны -5, или больше или равны 5.

Теперь рассмотрим второе неравенство x² - 6x < 0. Это неравенство можно привести к стандартному виду:

x(x - 6) < 0

Решим это неравенство. Найдем корни уравнения x(x - 6) = 0:

• x = 0
• x = 6

На числовой прямой у нас есть три промежутка: (-∞, 0), (0, 6) и (6, +∞). Проверим знак на каждом из промежутков:

• На промежутке (-∞, 0): выберем, например, x = -1: (-1)(-1 - 6) = 7 > 0
• На промежутке (0, 6): выберем, например, x = 3: (3)(3 - 6) = -9 < 0
• На промежутке (6, +∞): выберем, например, x = 7: (7)(7 - 6) = 7 > 0

Таким образом, решение второго неравенства: 0 < x < 6.

Теперь найдем пересечение решений двух неравенств:

• Первое неравенство: x ≤ -5 или x ≥ 5
• Второе неравенство: 0 < x < 6

Пересечение этих неравенств дает нам только одно целое решение: x = 5.

Теперь найдем сумму всех целых решений на промежутке [-10; 6]. Поскольку единственное целое решение - это 5, то сумма всех целых решений равна 5.

Ответ: 5

Задача В9

Дана функция y = |x|. Чтобы найти функцию g(x), которая получена из y = |x| сдвигом вниз на 13 единиц, запишем:

g(x) = |x| - 13.

Теперь найдем значения g(-1) и g(6):

• g(-1) = |-1| - 13 = 1 - 13 = -12
• g(6) = |6| - 13 = 6 - 13 = -7

Теперь вычислим произведение g(-1) · g(6):

g(-1) · g(6) = (-12) · (-7) = 84.

Ответ: 84

Задача В10

Дан правильный шестиугольник ABCDEF, площадь треугольника ABC равна 24√3. Площадь правильного шестиугольника можно выразить через площадь одного треугольника, так как он состоит из 6 равных треугольников:

Площадь шестиугольника S = 6 * S(ABC).

Таким образом, S = 6 * 24√3 = 144√3.

Теперь найдем значение выражения S/√3:

S/√3 = (144√3) / √3 = 144.

Ответ: 144