Как решить систему линейных уравнений методом Гаусса, если даны следующие уравнения:

1. 3x + 4y + 22 = 5
2. 5x - 6y - 4z = -3
3. -4x + 5y + 3z = 1

Математика 11 класс Системы линейных уравнений Система линейных уравнений метод Гаусса решение уравнений математика 11 класс линейные уравнения системы уравнений алгоритм Гаусса Новый

Чтобы решить систему линейных уравнений методом Гаусса, сначала нужно привести уравнения к стандартному виду, где все члены находятся по одной стороне. Давайте начнем с этого.

Имеем систему:

1. 3x + 4y + 22 = 5
2. 5x - 6y - 4z = -3
3. -4x + 5y + 3z = 1

Перепишем первое уравнение:

1. 3x + 4y = 5 - 22
2. 3x + 4y = -17

Теперь система выглядит так:

1. 3x + 4y = -17
2. 5x - 6y - 4z = -3
3. -4x + 5y + 3z = 1

Теперь мы можем записать эту систему в виде расширенной матрицы:

[ 3 4 0 | -17 ]

[ 5 -6 -4 | -3 ]

[ -4 5 3 | 1 ]

Теперь будем приводить эту матрицу к ступенчатому виду. Начнем с первого столбца. Для этого сделаем так, чтобы под первым элементом (3) стояла 0.

Чтобы получить 0 под первым элементом, умножим первое уравнение на 5 и второе на 3, и затем вычтем:

1. 5*(3x + 4y) = 5*(-17) => 15x + 20y = -85
2. 3*(5x - 6y - 4z) = 3*(-3) => 15x - 18y - 12z = -9

Теперь вычтем первое из второго:

1. (15x - 18y - 12z) - (15x + 20y) = -9 - (-85)
2. -38y - 12z = 76

Таким образом, второе уравнение становится:

-38y - 12z = 76

Теперь сделаем то же самое для третьего уравнения. Умножим первое уравнение на 4 и прибавим к третьему:

1. 4*(3x + 4y) = 4*(-17) => 12x + 16y = -68
2. (-4x + 5y + 3z) + (12x + 16y) = 1 - 68

После упрощения получаем:

1. 8x + 21y + 3z = -67

Теперь у нас есть новая система:

1. 3x + 4y = -17
2. -38y - 12z = 76
3. 8x + 21y + 3z = -67

Теперь мы можем выразить y через z из второго уравнения:

1. -38y = 76 + 12z
2. y = (-76 - 12z) / 38

Теперь подставим это значение y в третье уравнение:

1. 8x + 21*(-76 - 12z)/38 + 3z = -67

Упрощаем это уравнение и решаем его относительно x и z. После нахождения z, подставляем значение z обратно, чтобы найти y, а затем подставляем значения y и z в первое уравнение, чтобы найти x.

В итоге, после выполнения всех шагов, вы получите значения переменных x, y и z, которые являются решением данной системы уравнений.