Как решить систему уравнений: tg x + tg y = 2 и cos x * cos y = 1/2?

Математика 11 класс Системы тригонометрических уравнений система уравнений решение системы tg x tg y cos x cos y тригонометрические функции математика 11 класс уравнения методы решения алгебра геометрия задачи по математике подготовка к экзаменам Новый

Для решения системы уравнений tg x + tg y = 2 и cos x * cos y = 1/2, следует использовать некоторые тригонометрические идентичности и свойства функций. Рассмотрим каждое уравнение по отдельности и затем совместим их.

Шаг 1: Анализ первого уравнения

Первое уравнение tg x + tg y = 2 можно переписать в виде:

• tg y = 2 - tg x.

Это уравнение показывает, что тангенсы углов x и y связаны между собой. Тангенс - это отношение синуса к косинусу, поэтому можно выразить тангенсы через синусы и косинусы:

• tg x = sin x / cos x,
• tg y = sin y / cos y.

Шаг 2: Подстановка во второе уравнение

Теперь подставим tg y из первого уравнения во второе:

• cos x * cos y = 1/2.

Для дальнейших преобразований можно использовать известные значения косинусов. Из второго уравнения мы можем выразить одно из косинусов через другое:

• cos y = (1/2) / cos x.

Шаг 3: Использование тригонометрических идентичностей

Зная, что cos^2 x + sin^2 x = 1, можно выразить sin y через cos y:

• sin^2 y = 1 - cos^2 y.

Подставляя cos y, получаем:

• sin^2 y = 1 - (1/2 * cos x)^2.

Шаг 4: Объединение уравнений

Теперь у нас есть два выражения для tg y и cos y. Мы можем попробовать найти конкретные значения x и y, которые удовлетворяют обоим уравнениям. Например, можно использовать известные значения углов:

• tg(π/4) = 1,
• tg(π/3) = sqrt(3),
• tg(π/6) = 1/sqrt(3).

Шаг 5: Пробуем подставить значения

Можно попробовать значения x = π/4 и y = π/4:

• tg(π/4) + tg(π/4) = 1 + 1 = 2,
• cos(π/4) * cos(π/4) = (sqrt(2)/2) * (sqrt(2)/2) = 1/2.

Таким образом, x = π/4 и y = π/4 является решением системы.

Шаг 6: Проверка других возможных решений

Система может иметь и другие решения, так как тангенс и косинус - периодические функции. Необходимо учитывать периодичность:

• x = π/4 + kπ,
• y = π/4 + mπ,

где k и m - любые целые числа.

Таким образом, основное решение системы уравнений tg x + tg y = 2 и cos x * cos y = 1/2: x = π/4 + kπ, y = π/4 + mπ, где k и m - целые числа.