Как решить уравнение x² - xy + y² = x + y в целых числах? Эта задача оценивается в 100 баллов.

Математика 11 класс Диофантовы уравнения уравнение решение целые числа математика 11 класс x² - xy + y² Новый

Чтобы решить уравнение x² - xy + y² = x + y в целых числах, давайте сначала преобразуем его и проанализируем. Мы можем переписать уравнение следующим образом:

x² - xy + y² - x - y = 0

Теперь это квадратное уравнение относительно x. Мы можем использовать формулу для решения квадратного уравнения ax² + bx + c = 0, где a = 1, b = -y - 1, c = y² - y. Подставим значения:

b = -y - 1

c = y² - y

Теперь применим дискриминант D:

D = b² - 4ac = (-y - 1)² - 4 * 1 * (y² - y)

Раскроем скобки:

D = (y² + 2y + 1) - 4(y² - y)

D = y² + 2y + 1 - 4y² + 4y

D = -3y² + 6y + 1

Теперь нам нужно, чтобы дискриминант D был неотрицательным, так как мы ищем целые корни. Поэтому решим неравенство:

-3y² + 6y + 1 ≥ 0

Умножим неравенство на -1 (не меняя знака неравенства):

3y² - 6y - 1 ≤ 0

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения с помощью формулы корней:

y = (6 ± √(36 + 12)) / 6 = (6 ± √48) / 6 = (6 ± 4√3) / 6 = 1 ± (2√3) / 3

Приблизительно, это дает корни y ≈ 3.15 и y ≈ -0.15. Поскольку y должен быть целым числом, мы проверяем целые значения y в диапазоне от -1 до 3.

Теперь подставим целые значения y и найдем соответствующие x:

• y = -1: x² + x + 2 = 0 (нет целых решений)
• y = 0: x² - x = 0 → x(x - 1) = 0 → x = 0 или x = 1 (целые решения: (0, 0), (1, 0))
• y = 1: x² - 2x = 0 → x(x - 2) = 0 → x = 0 или x = 2 (целые решения: (0, 1), (2, 1))
• y = 2: x² - 3x + 2 = 0 → (x - 1)(x - 2) = 0 → x = 1 или x = 2 (целые решения: (1, 2), (2, 2))
• y = 3: x² - 4x + 6 = 0 (нет целых решений)

Таким образом, все целые решения уравнения x² - xy + y² = x + y:

• (0, 0)
• (1, 0)
• (0, 1)
• (2, 1)
• (1, 2)
• (2, 2)

Мы нашли все пары (x, y), которые являются целыми решениями данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать!