Какое количество пар (a, b) можно найти, если a и b - взаимно простые целые числа, и выполняется условие 3a² + ab + b² = 13?

Математика 11 класс Диофантовы уравнения количество пар (a b) взаимно простые числа уравнение 3a² + ab + b² = 13 целые числа математическая задача Новый

Для того чтобы найти количество пар (a, b), которые удовлетворяют условию 3a² + ab + b² = 13 и являются взаимно простыми, давайте пошагово разберем эту задачу.

Шаг 1: Перепишем уравнение.

Мы имеем уравнение:

3a² + ab + b² = 13.

Попробуем выразить b через a, чтобы упростить задачу. Однако сначала давайте рассмотрим возможные значения a и b.

Шаг 2: Подбор целых чисел.

Поскольку a и b - целые числа, мы можем подбирать значения a и b, чтобы удовлетворить данному уравнению. Заметим, что значения a и b должны быть такими, чтобы выражение 3a² + ab + b² было равно 13.

Для начала, подберем целые значения a и b:

• Если a = 1, то 3(1)² + 1*b + b² = 3 + b + b² = 13. Получаем b² + b - 10 = 0. Решая это уравнение, находим b = 3 и b = -4.
• Если a = 2, то 3(2)² + 2*b + b² = 12 + 2b + b² = 13. Получаем b² + 2b - 1 = 0. Решая это уравнение, находим b = -1 ± √2 (не целые числа).
• Если a = 3, то 3(3)² + 3*b + b² = 27 + 3b + b² = 13. Это невозможно, так как левая часть больше 13.
• Если a = -1, то 3(-1)² - 1*b + b² = 3 - b + b² = 13. Получаем b² - b - 10 = 0. Решая это уравнение, находим b = 5 и b = -2.
• Если a = -2, то 3(-2)² - 2*b + b² = 12 - 2b + b² = 13. Получаем b² - 2b - 1 = 0. Решая это уравнение, находим b = 1 ± √2 (не целые числа).
• Если a = -3, то 3(-3)² - 3*b + b² = 27 - 3b + b² = 13. Это невозможно, так как левая часть больше 13.

Таким образом, мы нашли следующие пары (a, b): (1, 3), (1, -4), (-1, 5), (-1, -2).

Шаг 3: Проверка взаимной простоты.

Теперь проверим, являются ли найденные пары взаимно простыми:

• Для (1, 3): gcd(1, 3) = 1, взаимно простые.
• Для (1, -4): gcd(1, 4) = 1, взаимно простые.
• Для (-1, 5): gcd(1, 5) = 1, взаимно простые.
• Для (-1, -2): gcd(1, 2) = 1, взаимно простые.

Шаг 4: Подсчет пар.

Итак, у нас есть 4 пары: (1, 3), (1, -4), (-1, 5), (-1, -2). Все пары являются взаимно простыми.

Ответ: Количество пар (a, b), которые удовлетворяют условию и являются взаимно простыми, равно 4.