В стране мульти пульти выпущены в обращение банкноты в 43 сантика. Малыш и Карлсон, имея только такие банкноты, зашли в кафе. Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков и заплатил за них без сдачи. Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок. Как можно доказать, что независимо от цен на газировку и пирожки, Малыш также сможет расплатиться без сдачи, если все цены в мульти-пульти - целые числа?

Математика 11 класс Диофантовы уравнения математика 11 класс задача на целые числа банкноты 43 сантика Карлсон и Малыш покупка без сдачи доказательство математической теоремы Новый

Для того чтобы доказать, что Малыш сможет расплатиться без сдачи, нам нужно рассмотреть ситуацию с ценами на газировку и пирожки. Давайте обозначим:

• g - цена одного стакана газировки,
• p - цена одного пирожка.

Теперь запишем, сколько денег потратил Карлсон и сколько денег у него было:

• Карлсон заказал 5 стаканов газировки и 16 пирожков, значит, он заплатил 5g + 16p.
• Поскольку он расплатился без сдачи, это означает, что 5g + 16p является целым числом, кратным 43 (так как банкноты в 43 сантика).

Теперь рассмотрим заказ Малыша:

• Малыш заказал 3 стакана газировки и 1 пирожок, значит, он должен заплатить 3g + p.

Наша цель - доказать, что 3g + p также является целым числом, кратным 43. Для этого мы можем выразить 3g + p через 5g + 16p.

Для этого мы можем использовать систему линейных уравнений. Если мы выразим p через g из уравнения 5g + 16p = 43k (где k - целое число), то:

1. Решим уравнение для p:
2. 16p = 43k - 5g
3. p = (43k - 5g)/16

Теперь подставим это значение p в выражение 3g + p:

1. Получаем: 3g + (43k - 5g)/16.
2. Упростим это выражение:
3. 3g + (43k/16) - (5g/16).
4. Теперь объединим подобные слагаемые:
5. ((48g - 5g)/16) + (43k/16) = (43k + 43g)/16.

Мы видим, что выражение 3g + p также можно представить в виде суммы, которая делится на 43, поскольку 43k и 43g оба кратны 43.

Таким образом, независимо от цен на газировку и пирожки (при условии, что они целые числа), мы можем утверждать, что Малыш сможет расплатиться без сдачи. Это и доказывает, что 3g + p будет также кратно 43, как и 5g + 16p.