Как решить уравнение xy'+y=x-1?

Математика 11 класс Уравнения с двумя переменными решение уравнения математика xy' y x-1 методы решения уравнений Дифференциальные уравнения Новый

Привет! Давай разберёмся, как решить уравнение xy' + y = x - 1. Это уравнение можно привести к стандартному виду и решить его шаг за шагом.

1. Приведем уравнение к стандартному виду:

Сначала запишем его в виде, где y' изолировано:

• xy' = x - 1 - y
• y' = (x - 1 - y) / x

2. Теперь это уравнение можно решить методом разделения переменных:

Перепишем уравнение так:

• y' = (x - 1)/x - y/x

3. Перепишем y' как dy/dx:

Теперь у нас есть:

• dy/dx = (x - 1)/x - y/x

4. Приведем к стандартному виду:

Это можно записать как:

• dy/dx + (1/x)y = (x - 1)/x

5. Теперь мы можем использовать метод интегрирующего множителя:

Интегрирующий множитель будет e^(∫(1/x)dx) = e^(ln|x|) = |x|. Учитывая, что x > 0, просто x.

6. Умножим всё уравнение на x:

• x(dy/dx) + y = x - 1

7. Теперь решим это уравнение:

Левая часть - это производная произведения:

• d/dx (xy) = x - 1

8. Интегрируем обе стороны:

• xy = ∫(x - 1)dx = (x^2)/2 - x + C

9. Теперь выразим y:

• y = (x^2)/2x - x/x + C/x
• y = x/2 - 1 + C/x

И вот, мы нашли общее решение уравнения:

y = x/2 - 1 + C/x

Если что-то не понятно, спрашивай, я помогу!