Как с помощью простейших преобразований построить график функции: у = x - 6/x + 1?

Математика 11 класс Графики функций построение графика функции простейшие преобразования у = x - 6/x + 1 математика 11 класс анализ функции Новый

Для построения графика функции y = x - 6/(x + 1) с помощью простейших преобразований, давайте разберем эту функцию на составные части и проанализируем ее.

Шаг 1: Определение области определения

Сначала необходимо определить область определения функции. Функция будет определена для всех значений x, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. В данном случае:

• x + 1 = 0
• x = -1

Таким образом, область определения: x ∈ R, x ≠ -1.

Шаг 2: Нахождение асимптот

Теперь найдем вертикальные и горизонтальные асимптоты.

• Вертикальная асимптота: Поскольку функция не определена при x = -1, это значение будет вертикальной асимптотой.
• Горизонтальная асимптота: Для нахождения горизонтальной асимптоты исследуем поведение функции при x → ±∞. При больших значениях x, член -6/(x + 1) становится незначительным, поэтому:

lim (x → ±∞) (y) = x, что означает, что при x → ±∞, y также стремится к ±∞. Таким образом, горизонтальной асимптоты нет.

Шаг 3: Нахождение точек пересечения с осями

Теперь найдем точки пересечения с осями координат.

• Пересечение с осью y: Подставим x = 0:
• y = 0 - 6/(0 + 1) = -6.
• Таким образом, точка пересечения с осью y: (0, -6).
• Пересечение с осью x: Подставим y = 0:
• 0 = x - 6/(x + 1).
• Переносим 6/(x + 1) на другую сторону: x = 6/(x + 1).
• Умножаем обе стороны на (x + 1): x(x + 1) = 6.
• Получаем уравнение: x^2 + x - 6 = 0.
• Решим его с помощью дискриминанта:
• D = 1^2 - 4*1*(-6) = 1 + 24 = 25.
• x1 = (-1 + √25)/2 = 2, x2 = (-1 - √25)/2 = -3.
• Таким образом, точки пересечения с осью x: (2, 0) и (-3, 0).

Шаг 4: Построение графика

Теперь, когда у нас есть информация о вертикальной асимптоте, точках пересечения и области определения, можно построить график:

1. Наносим точку пересечения с осью y: (0, -6).
2. Наносим точки пересечения с осью x: (2, 0) и (-3, 0).
3. Добавляем вертикальную асимптоту x = -1.
4. Исследуем поведение функции в интервалах: при x < -1 и x > -1, чтобы понять, как ведет себя график.

График будет подходить к вертикальной асимптоте и стремиться к бесконечности при x → -1 с обеих сторон.

В результате, вы получите график, который пересекает ось y в точке (0, -6) и ось x в точках (2, 0) и (-3, 0), с вертикальной асимптотой x = -1.