Как упростить следующие выражения?

1. sin(α) / (1 + cos(α)) + cot(α)
2. cos(α) / (1 - sin(α)) - tan(α)
3. sin(β) / (1 - cos(β)) + sin(β) / (1 + cos(β))
4. cos(β) / (1 + sin(β)) + cos(β) / (1 - sin(β))

Математика 11 класс Тригонометрические выражения упрощение тригонометрических выражений математика 11 класс Тригонометрия sin cos cot tan math problems Новый

Чтобы упростить данные тригонометрические выражения, мы будем использовать основные тригонометрические идентичности, такие как:

• sin²(α) + cos²(α) = 1
• tan(α) = sin(α) / cos(α)
• cot(α) = cos(α) / sin(α)

Теперь давайте рассмотрим каждое выражение по порядку.

1. Первое выражение: sin(α) / (1 + cos(α)) + cot(α)

   Заменим cot(α) на cos(α) / sin(α):

   sin(α) / (1 + cos(α)) + cos(α) / sin(α)

   Теперь найдем общий знаменатель:

   Общий знаменатель будет (1 + cos(α)) * sin(α):

   Преобразуем:

   (sin²(α) + cos(α)(1 + cos(α))) / ((1 + cos(α)) * sin(α))

   Теперь упростим числитель:

   sin²(α) + cos(α) + cos²(α) = sin²(α) + cos²(α) + cos(α) = 1 + cos(α)

   Таким образом, окончательный вид:

   (1 + cos(α)) / ((1 + cos(α)) * sin(α)) = 1 / sin(α) = csc(α)

2. Второе выражение: cos(α) / (1 - sin(α)) - tan(α)

   Заменим tan(α) на sin(α) / cos(α):

   cos(α) / (1 - sin(α)) - sin(α) / cos(α)

   Найдем общий знаменатель:

   Общий знаменатель будет (1 - sin(α)) * cos(α):

   Преобразуем:

   (cos²(α) - sin(α)(1 - sin(α))) / ((1 - sin(α)) * cos(α))

   Упрощаем числитель:

   cos²(α) - sin(α) + sin²(α) = 1 - sin(α)

   Таким образом, окончательный вид:

   (1 - sin(α)) / ((1 - sin(α)) * cos(α)) = 1 / cos(α) = sec(α)

3. Третье выражение: sin(β) / (1 - cos(β)) + sin(β) / (1 + cos(β))

   Найдем общий знаменатель, который будет (1 - cos(β))(1 + cos(β)) = 1 - cos²(β) = sin²(β):

   Преобразуем:

   (sin(β)(1 + cos(β)) + sin(β)(1 - cos(β))) / sin²(β)

   Упрощаем числитель:

   sin(β)(1 + cos(β) + 1 - cos(β)) = 2sin(β)

   Таким образом, окончательный вид:

   2sin(β) / sin²(β) = 2 / sin(β) = 2csc(β)

4. Четвертое выражение: cos(β) / (1 + sin(β)) + cos(β) / (1 - sin(β))

   Найдем общий знаменатель, который будет (1 + sin(β))(1 - sin(β)) = 1 - sin²(β) = cos²(β):

   Преобразуем:

   (cos(β)(1 - sin(β)) + cos(β)(1 + sin(β))) / cos²(β)

   Упрощаем числитель:

   cos(β)(1 - sin(β) + 1 + sin(β)) = 2cos(β)

   Таким образом, окончательный вид:

   2cos(β) / cos²(β) = 2 / cos(β) = 2sec(β)

Таким образом, мы упростили все выражения:

• Первое выражение: csc(α)
• Второе выражение: sec(α)
• Третье выражение: 2csc(β)
• Четвертое выражение: 2sec(β)