Чтобы упростить данные тригонометрические выражения, мы будем использовать основные тригонометрические идентичности, такие как:

• sin²(α) + cos²(α) = 1
• tan(α) = sin(α) / cos(α)
• cot(α) = cos(α) / sin(α)

Теперь давайте рассмотрим каждое выражение по порядку.

1. Первое выражение: sin(α) / (1 + cos(α)) + cot(α)

   Заменим cot(α) на cos(α) / sin(α):

   sin(α) / (1 + cos(α)) + cos(α) / sin(α)

   Теперь найдем общий знаменатель:

   Общий знаменатель будет (1 + cos(α)) * sin(α):

   Преобразуем:

   (sin²(α) + cos(α)(1 + cos(α))) / ((1 + cos(α)) * sin(α))

   Теперь упростим числитель:

   sin²(α) + cos(α) + cos²(α) = sin²(α) + cos²(α) + cos(α) = 1 + cos(α)

   Таким образом, окончательный вид:

   (1 + cos(α)) / ((1 + cos(α)) * sin(α)) = 1 / sin(α) = csc(α)

2. Второе выражение: cos(α) / (1 - sin(α)) - tan(α)

   Заменим tan(α) на sin(α) / cos(α):

   cos(α) / (1 - sin(α)) - sin(α) / cos(α)

   Найдем общий знаменатель:

   Общий знаменатель будет (1 - sin(α)) * cos(α):

   Преобразуем:

   (cos²(α) - sin(α)(1 - sin(α))) / ((1 - sin(α)) * cos(α))

   Упрощаем числитель:

   cos²(α) - sin(α) + sin²(α) = 1 - sin(α)

   Таким образом, окончательный вид:

   (1 - sin(α)) / ((1 - sin(α)) * cos(α)) = 1 / cos(α) = sec(α)

3. Третье выражение: sin(β) / (1 - cos(β)) + sin(β) / (1 + cos(β))

   Найдем общий знаменатель, который будет (1 - cos(β))(1 + cos(β)) = 1 - cos²(β) = sin²(β):

   Преобразуем:

   (sin(β)(1 + cos(β)) + sin(β)(1 - cos(β))) / sin²(β)

   Упрощаем числитель:

   sin(β)(1 + cos(β) + 1 - cos(β)) = 2sin(β)

   Таким образом, окончательный вид:

   2sin(β) / sin²(β) = 2 / sin(β) = 2csc(β)

4. Четвертое выражение: cos(β) / (1 + sin(β)) + cos(β) / (1 - sin(β))

   Найдем общий знаменатель, который будет (1 + sin(β))(1 - sin(β)) = 1 - sin²(β) = cos²(β):

   Преобразуем:

   (cos(β)(1 - sin(β)) + cos(β)(1 + sin(β))) / cos²(β)

   Упрощаем числитель:

   cos(β)(1 - sin(β) + 1 + sin(β)) = 2cos(β)

   Таким образом, окончательный вид:

   2cos(β) / cos²(β) = 2 / cos(β) = 2sec(β)

Таким образом, мы упростили все выражения:

• Первое выражение: csc(α)
• Второе выражение: sec(α)
• Третье выражение: 2csc(β)
• Четвертое выражение: 2sec(β)