Как вычислить несобственный интеграл?

Математика 11 класс Несобственные интегралы несобственный интеграл вычисление интеграла методы интегрирования Новый

Несобственный интеграл — это интеграл, который не может быть вычислен обычным способом из-за особенностей функции или пределов интегрирования. Существует два основных типа несобственных интегралов:

• Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
• Несобственные интегралы, в которых функция имеет разрыв или бесконечное значение на интервале интегрирования.

Для вычисления несобственного интеграла необходимо следовать определенным шагам. Рассмотрим каждый тип отдельно.

1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами

Рассмотрим интеграл вида:

∫(a, ∞) f(x) dx

Чтобы вычислить такой интеграл, выполняем следующие шаги:

1. Заменяем бесконечный предел на конечный. Например, мы можем записать:

∫(a, ∞) f(x) dx = lim (b → ∞) ∫(a, b) f(x) dx

2. Теперь вычисляем определенный интеграл ∫(a, b) f(x) dx.
3. После вычисления определенного интеграла, подставляем предел b и находим:

lim (b → ∞) ∫(a, b) f(x) dx

4. Если этот предел существует и конечен, то несобственный интеграл считается сходящимся и равен этому пределу. Если предел не существует или равен бесконечности, интеграл расходится.

2. Несобственные интегралы с разрывом

Рассмотрим интеграл вида:

∫(a, b) f(x) dx, где f(x) имеет разрыв в точке c, где a < c < b.

Для вычисления такого интеграла также выполняем следующие шаги:

1. Разбиваем интеграл на два части:

∫(a, b) f(x) dx = ∫(a, c) f(x) dx + ∫(c, b) f(x) dx

2. Каждый из этих интегралов будет несобственным, поэтому для каждого из них применяем пределы:

∫(a, c) f(x) dx = lim (t → c-) ∫(a, t) f(x) dx

∫(c, b) f(x) dx = lim (t → c+) ∫(t, b) f(x) dx

3. Теперь вычисляем оба предела. Если оба предела существуют и конечны, то интеграл сходится и равен сумме этих пределов. Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, интеграл расходится.

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла важно правильно определить тип интеграла и следовать указанным шагам. Это позволит вам корректно оценить его сходимость и найти значение, если это возможно.