Для решения данного несобственного интеграла ∫0+∞ (arctg(3(2x)))/(1 + 4x²) dx, мы будем использовать метод замены переменной и некоторые свойства интегралов.

Шаг 1: Замена переменной

Сначала мы сделаем замену переменной. Пусть:

x = t/2, тогда dx = (1/2) dt.

При этом пределы интегрирования изменятся: когда x = 0, t = 0, а когда x → ∞, t → ∞. Подставим это в интеграл:

• ∫0+∞ (arctg(3(2(t/2))))/(1 + 4(t/2)²) * (1/2) dt = ∫0+∞ (arctg(3t))/(1 + t²) * (1/2) dt.

Таким образом, наш интеграл становится:

1/2 * ∫0+∞ (arctg(3t))/(1 + t²) dt.

Шаг 2: Решение интеграла

Теперь нам нужно вычислить интеграл ∫0+∞ (arctg(3t))/(1 + t²) dt. Этот интеграл можно решить, используя известный результат:

∫0+∞ (arctg(at))/(1 + t²) dt = (π/2) * arctg(a), где a - постоянная.

В нашем случае a = 3. Подставим это в формулу:

∫0+∞ (arctg(3t))/(1 + t²) dt = (π/2) * arctg(3).

Шаг 3: Подставляем результат обратно

Теперь подставим найденное значение в наш интеграл:

1/2 * (π/2) * arctg(3) = (π/4) * arctg(3).

Шаг 4: Оценка значения arctg(3)

Значение arctg(3) является конечным и положительным числом. Таким образом, итоговый результат интеграла будет конечным.

Шаг 5: Сравнение с предложенными вариантами

Оценим полученное значение. Мы получили (π/4) * arctg(3). Теперь нам нужно сопоставить это значение с предложенными вариантами:

• π4/256
• π4/128
• π5/36
• +∞

Так как arctg(3) не является простым числом, мы можем сделать вывод, что (π/4) * arctg(3) не совпадает с ни одним из предложенных значений, но нужно выбрать наиболее близкий вариант.

Поэтому, учитывая, что (π/4) * arctg(3) в числовом выражении будет ближе к π4/128, чем к другим вариантам, мы можем предположить, что правильный ответ:

π4/128