Похожие вопросы
2026-01-15 14:56:52
Каково значение несобственного интеграла \(\int_1^3 \frac{1}{(x-3)^3} dx\)?
- А) -\frac{1}{8}
- В) +\infty
- С) -\infty
- D) \frac{1}{8}
Математика 11 класс Несобственные интегралы несобственный интеграл значение интеграла математика 11 класс интегралы пределы интегрирования вычисление интеграла Новый
2026-01-15 14:57:05
Чтобы определить значение несобственного интеграла ∫1^3 (1/(x-3)^3) dx, сначала нужно понять, что данный интеграл имеет особую точку в пределах интегрирования. В данном случае, это точка x = 3, где функция 1/(x-3)^3 становится неопределенной.
Мы будем рассматривать интеграл как несобственный, разбив его на два части: от 1 до 3, но с подходом к 3:
- Запишем интеграл в виде предела:
- Теперь найдем первообразную функции 1/(x-3)^3. Для этого воспользуемся стандартным правилом интегрирования:
- Теперь подставим пределы интегрирования:
- Сначала подставим верхний предел:
- Теперь подставим нижний предел:
- Теперь вычислим предел:
∫1^3 (1/(x-3)^3) dx = lim (t→3-) ∫1^t (1/(x-3)^3) dx
Первообразная для 1/(x-a)^n равна -1/((n-1)(x-a)^{n-1}) для n=3:
∫(1/(x-3)^3) dx = -1/(2(x-3)^2) + C
lim (t→3-) [-1/(2(t-3)^2)] от 1 до t
[-1/(2(t-3)^2)] = -1/(2(t-3)^2)
[-1/(2(1-3)^2)] = -1/(2(2)^2) = -1/8
lim (t→3-) [-1/(2(t-3)^2)] = -1/(2(0)^2)
Этот предел стремится к -∞, так как знаменатель стремится к нулю, а числитель остается отрицательным.
Таким образом, конечное значение несобственного интеграла ∫1^3 (1/(x-3)^3) dx равно -∞.
Ответ: С) -∞