Какое действительное число 𝑎 таково, что уравнение 𝑎𝑥² + (𝑎+10)𝑥 − 10 − 2𝑎 = 0 имеет два действительных корня, которые отличаются в 3 раза? Чему может быть равно 𝑎? Укажите все возможные варианты.

Математика 11 класс Уравнения и неравенства уравнение с двумя корнями действительные числа значение a корни уравнения математика алгебра квадратное уравнение условия для корней разность корней математическая задача Новый

Для решения данной задачи, начнем с того, что у нас есть квадратное уравнение:

ax² + (a + 10)x - 10 - 2a = 0

Мы знаем, что уравнение имеет два действительных корня, которые отличаются в 3 раза. Обозначим один корень как x и другой как 3x. Теперь мы можем использовать свойство корней квадратного уравнения.

Согласно теореме Виета, сумма корней (x + 3x) и произведение корней (x * 3x) для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равны:

• Сумма корней: x + 3x = 4x = -b/a
• Произведение корней: x * 3x = 3x² = c/a

Теперь подставим значения b и c из нашего уравнения:

• Сумма корней: 4x = -(a + 10)/a
• Произведение корней: 3x² = (-10 - 2a)/a

Решим первое уравнение для x:

4x = -(a + 10)/a

x = -(a + 10)/(4a)

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

3x² = (-10 - 2a)/a

3(-(a + 10)/(4a))² = (-10 - 2a)/a

Теперь упростим левую часть:

3 * (a + 10)² / (16a²) = (-10 - 2a)/a

Умножим обе стороны на 16a²:

3(a + 10)² = 16(-10 - 2a)a

Раскроем скобки:

3(a² + 20a + 100) = -160a - 32a²

Теперь перенесем все в одну сторону:

3a² + 60a + 300 + 32a² + 160a = 0

Соберем подобные:

35a² + 220a + 300 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = b² - 4ac = 220² - 4 * 35 * 300

D = 48400 - 42000 = 6400

Теперь найдем корни уравнения:

a = (-b ± √D) / (2a) = (-220 ± √6400) / (2 * 35)

√6400 = 80, поэтому:

• a1 = (-220 + 80) / 70 = -140 / 70 = -2
• a2 = (-220 - 80) / 70 = -300 / 70 = -30/7

Таким образом, возможные значения для a, при которых уравнение имеет два действительных корня, которые отличаются в 3 раза, это:

• a = -2
• a = -30/7

Ответ: a может принимать значения -2 и -30/7.