Какое максимальное целое значение х удовлетворяет неравенству (х-6)(х²-7х+6)/х³-36х≤0?

Математика 11 класс Неравенства и их решения неравенство математика максимальное значение целое число х решение неравенства Новый

Чтобы решить неравенство (х-6)(х²-7х+6)/(х³-36х) ≤ 0, начнем с анализа выражения. Мы сначала упростим числитель и знаменатель.

Шаг 1: Упрощение числителя

Числитель (х-6)(х²-7х+6) можно упростить. Сначала разложим х²-7х+6 на множители:

• х²-7х+6 = (х-1)(х-6).

Таким образом, числитель можно записать как:

• (х-6)(х-1)(х-6) = (х-6)²(х-1).

Шаг 2: Упрощение знаменателя

Теперь рассмотрим знаменатель х³-36х. Мы можем вынести х:

• х³-36х = х(х²-36) = х(х-6)(х+6).

Шаг 3: Подстановка в неравенство

Теперь подставим упрощенные выражения в неравенство:

• (х-6)²(х-1) / (х(х-6)(х+6)) ≤ 0.

Теперь мы можем сократить (х-6) в числителе и знаменателе, но учтите, что это приведет к условию х ≠ 6:

• (х-6)(х-1) / (х(х+6)) ≤ 0.

Шаг 4: Нахождение нулей и определение знаков

Теперь найдем нули числителя и знаменателя:

• Нули числителя: х-6 = 0 → х = 6, х-1 = 0 → х = 1.
• Нули знаменателя: х = 0 и х + 6 = 0 → х = -6.

Теперь у нас есть критические точки: х = -6, х = 0, х = 1, х = 6.

Шаг 5: Построение числовой прямой

Рассмотрим промежутки между критическими точками:

• (-∞, -6)
• (-6, 0)
• (0, 1)
• (1, 6)
• (6, +∞)

Теперь проверим знак выражения в каждом из этих промежутков:

• Для х < -6: (положительное) / (положительное) > 0.
• Для -6 < х < 0: (положительное) / (отрицательное) < 0.
• Для 0 < х < 1: (отрицательное) / (положительное) < 0.
• Для 1 < х < 6: (положительное) / (положительное) > 0.
• Для х > 6: (положительное) / (положительное) > 0.

Шаг 6: Итоговые значения

Теперь мы можем записать промежутки, где неравенство выполняется:

• (-6, 0) и (0, 1).

Не забываем, что в точках х = 1 и х = 6 числитель равен нулю, следовательно, они включаются в решение. Точка х = 0 не включается, так как в ней знаменатель равен нулю.

Шаг 7: Максимальное целое значение

Таким образом, максимальное целое значение х, удовлетворяющее неравенству, это 1.

Ответ: 1