При каких значениях параметра а каждое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет содержаться среди решений неравенства ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0?

Математика 11 класс Неравенства и их решения неравенство решения параметры математика x^2 ax^2 условия неравенства квадратичное уравнение анализ решений Новый

Для решения данной задачи начнем с анализа первого неравенства:

1. Неравенство x^2 - 3x + 2 < 0.

Решим квадратное уравнение x^2 - 3x + 2 = 0. Для этого найдем его корни:

• Корни уравнения можно найти с помощью формулы корней квадратного уравнения:
• x = (b ± √(b² - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = -3, c = 2.

Подставим значения:

• Дискриминант D = (-3)² - 4 * 1 * 2 = 9 - 8 = 1.
• Корни: x1 = (3 + √1) / 2 = 2 и x2 = (3 - √1) / 2 = 1.

Таким образом, неравенство x^2 - 3x + 2 < 0 выполняется на интервале (1, 2).

2. Неравенство ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0.

Теперь проанализируем второе неравенство. Для того чтобы каждое решение первого неравенства (интервал (1, 2)) находилось в решении второго, нужно, чтобы неравенство ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0 выполнялось для всех x из (1, 2).

Рассмотрим значения функции f(x) = ax^2 - (3a + 1)x + 3 на границах интервала:

• f(1) = a(1)^2 - (3a + 1)(1) + 3 = a - 3a - 1 + 3 = -2a + 2.
• f(2) = a(2)^2 - (3a + 1)(2) + 3 = 4a - 6a - 2 + 3 = -2a + 1.

Для того чтобы неравенство ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0 выполнялось на интервале (1, 2), необходимо, чтобы значения функции на границах интервала были положительными:

• f(1) > 0: -2a + 2 > 0, отсюда a < 1.
• f(2) > 0: -2a + 1 > 0, отсюда a < 0.5.

Таким образом, для того чтобы каждое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 содержалось среди решений неравенства ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0, необходимо, чтобы параметр a удовлетворял следующему условию:

3. Итоговое условие:

a < 0.5.

Таким образом, при a < 0.5 каждое решение неравенства x^2 - 3x + 2 < 0 будет содержаться среди решений неравенства ax^2 - (3a + 1)x + 3 > 0.