Чтобы найти расстояние между точкой A и плоскостью CDF1 в правильной шестиугольной призме, следуем следующим шагам:

1. Определение координат точек:
   • В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 с длиной ребра 2, можно задать координаты точек следующим образом:
   • A(0, 0, 0)
   • B(2, 0, 0)
   • C(1, √3, 0)
   • D(-1, √3, 0)
   • E(-2, 0, 0)
   • F(-1, -√3, 0)
   • A1(0, 0, 2)
   • B1(2, 0, 2)
   • C1(1, √3, 2)
   • D1(-1, √3, 2)
   • E1(-2, 0, 2)
   • F1(-1, -√3, 2)
2. Определение уравнения плоскости CDF1:
   • Плоскость CDF1 проходит через точки C, D и F1.
   • Координаты этих точек:
   • C(1, √3, 0), D(-1, √3, 0), F1(-1, -√3, 2).
   • Для нахождения уравнения плоскости, сначала находим векторы CD и CF1:
   • CD = D - C = (-1 - 1, √3 - √3, 0 - 0) = (-2, 0, 0)
   • CF1 = F1 - C = (-1 - 1, -√3 - √3, 2 - 0) = (-2, -2√3, 2)
   • Теперь находим нормальный вектор плоскости, используя векторное произведение:
   • n = CD × CF1.
3. Вычисление векторного произведения:
   • n = |i j k|
   • |-2 0 0|
   • |-2 -2√3 2|
   • n = (0*2 - 0*(-2√3), 0*(-2) - (-2)*2, (-2)*(-2√3) - 0*(-2)) = (0, 4, 4√3)
   • Таким образом, нормальный вектор n = (0, 4, 4√3).
4. Уравнение плоскости:
   • Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты нормального вектора.
   • Подставляем значения: 0*x + 4*y + 4√3*z + D = 0.
   • Чтобы найти D, подставим координаты точки C(1, √3, 0):
   • 0*1 + 4*√3 + 4√3*0 + D = 0 => D = -4√3.
   • Таким образом, уравнение плоскости: 4y + 4√3z - 4√3 = 0.
   • Можно упростить: y + √3z - √3 = 0.
5. Расстояние от точки A до плоскости:
   • Формула для расстояния от точки (x0, y0, z0) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0:
   • d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2).
   • Подставляем A(0, 0, 0):
   • d = |0*0 + 4*0 + 4√3*0 - 4√3| / √(0^2 + 4^2 + (4√3)^2).
   • d = | -4√3 | / √(16 + 48) = 4√3 / √64 = 4√3 / 8 = √3 / 2.

Таким образом, расстояние между точкой A и плоскостью CDF1 составляет √3 / 2.