Какое значение имеет выражение (4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1)-4¹⁶?

Математика 11 класс Формулы сокращённого умножения значение выражения математическое выражение 4-1 4+1 4²+1 4⁴+1 4⁸+1 4¹⁶ решение задачи по математике Новый

Чтобы найти значение выражения (4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1)-4¹⁶, начнем с анализа первой части выражения: (4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1).

1. Рассмотрим каждый множитель по отдельности:

• (4-1) = 3
• (4+1) = 5
• (4²+1) = 16 + 1 = 17
• (4⁴+1) = 256 + 1 = 257
• (4⁸+1) = 65536 + 1 = 65537

Теперь мы можем переписать выражение, подставив найденные значения:

(3)(5)(17)(257)(65537)

2. Обратим внимание на то, что выражение (4-1)(4+1)(4²+1)(4⁴+1)(4⁸+1) можно упростить, используя формулы для произведения:

Заметим, что:

• (x-1)(x+1) = x² - 1
• (x² + 1)(x⁴ + 1) = x⁶ - 1 для x = 4

Таким образом:

• (4-1)(4+1) = 4² - 1 = 16 - 1 = 15
• (4² + 1)(4⁴ + 1) = 4⁶ - 1

Теперь мы можем записать:

(4-1)(4+1)(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = (4² - 1)(4⁶ - 1)(4⁸ + 1)

3. Мы знаем, что (4² - 1) = 15 и (4⁶ - 1) = 4095, а (4⁸ + 1) = 65537.

4. Теперь произведем вычисления:

15 * 4095 * 65537

5. Однако, чтобы избежать громоздких расчетов, мы можем воспользоваться более простой формулой:

Известно, что (x² - 1)(x² + 1) = x⁴ - 1, и в нашем случае:

(4² - 1)(4² + 1)(4⁴ + 1) = 4⁸ - 1.

Таким образом, мы можем записать:

(4-1)(4+1)(4² + 1)(4⁴ + 1)(4⁸ + 1) = 4¹⁶ - 1.

6. Теперь подставим это в наше исходное выражение:

(4¹⁶ - 1) - 4¹⁶ = -1.

Итак, окончательный ответ:

-1.