Для решения этой задачи воспользуемся свойствами треугольников и окружностей.

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• Сторона AB = 3
• Сторона AC = 5
• Сторона BC = x (это то, что мы ищем)

Согласно условию, окружность, проходящая через середины сторон AB и AC, касается стороны BC. Это означает, что отрезок, соединяющий середины сторон AB и AC, перпендикулярен стороне BC.

Обозначим:

• M - середина стороны AB
• N - середина стороны AC

Длина отрезка MN можно найти с помощью формулы для нахождения длины отрезка, соединяющего середины двух сторон треугольника:

1. Сначала найдем длину отрезка MN. Длина MN равна половине длины стороны BC:
2. MN = 1/2 * BC = 1/2 * x

Теперь, поскольку MN перпендикулярен BC, мы можем использовать теорему Пифагора для треугольника AMN, где AM и AN - половины сторон AB и AC соответственно:

• AM = 3/2
• AN = 5/2

По теореме Пифагора:

1. (MN)^2 + (AM)^2 = (AN)^2
2. (1/2 * x)^2 + (3/2)^2 = (5/2)^2

Теперь подставим значения:

1. (1/4) * x^2 + (9/4) = (25/4)
2. (1/4) * x^2 = (25/4) - (9/4)
3. (1/4) * x^2 = (16/4)
4. x^2 = 16
5. x = 4

Таким образом, длина третьей стороны треугольника BC равна 4.

Ответ: Длина третьей стороны треугольника равна 4.