Какова максимальная цена p (в тыс. руб.), при которой месячная выручка r(p) монополиста составит не менее 160 тыс. руб., если зависимость объема спроса q (единиц в месяц) от цены p определяется формулой q=60-5p, а выручка вычисляется по формуле r(p)=q•p?

Математика 11 класс Экономическая математика максимальная цена p месячная выручка r(p) зависимость объема спроса формула q=60-5p выручка монополиста решение задачи по математике Новый

Чтобы найти максимальную цену p, при которой месячная выручка r(p) монополиста составит не менее 160 тыс. руб., нам нужно следовать нескольким шагам.

1. Запишем формулу для выручки: Выручка r(p) вычисляется по формуле r(p) = q * p. Подставим в эту формулу зависимость объема спроса q от цены p.
2. Подставим q в формулу выручки: Мы знаем, что q = 60 - 5p. Подставим это значение в формулу выручки:
   • r(p) = (60 - 5p) * p
3. Упростим выражение для выручки:
   • r(p) = 60p - 5p^2
4. Установим неравенство для выручки: Мы хотим, чтобы выручка была не менее 160 тыс. руб., то есть:
   • 60p - 5p^2 ≥ 160
5. Перепишем неравенство:
   • 60p - 5p^2 - 160 ≥ 0
   • -5p^2 + 60p - 160 ≥ 0
6. Умножим неравенство на -1: Не забудьте поменять знак неравенства:
   • 5p^2 - 60p + 160 ≤ 0
7. Решим квадратное неравенство: Для этого найдем корни квадратного уравнения 5p^2 - 60p + 160 = 0 с помощью дискриминанта:
   • D = b^2 - 4ac = (-60)^2 - 4 * 5 * 160 = 3600 - 3200 = 400.
8. Найдем корни уравнения:
   • p1 = (60 + √400) / (2 * 5) = (60 + 20) / 10 = 8.
   • p2 = (60 - √400) / (2 * 5) = (60 - 20) / 10 = 4.
9. Определим промежутки: Квадратное уравнение 5p^2 - 60p + 160 = 0 имеет корни p1 = 8 и p2 = 4. Теперь мы можем определить, на каком промежутке неравенство выполняется:
   • Проверим промежутки: (-∞, 4), (4, 8), (8, +∞).
   • Выберем тестовые значения для проверки: например, p = 0 (в первом промежутке), p = 6 (во втором), p = 9 (в третьем).
   • Для p = 0: 5(0)^2 - 60(0) + 160 = 160 > 0 (выполняется).
   • Для p = 6: 5(6)^2 - 60(6) + 160 = 180 - 360 + 160 = -20 < 0 (не выполняется).
   • Для p = 9: 5(9)^2 - 60(9) + 160 = 405 - 540 + 160 = 25 > 0 (выполняется).
10. Таким образом, неравенство 5p^2 - 60p + 160 ≤ 0 выполняется на промежутке:
    • 4 ≤ p ≤ 8.
11. Максимальная цена p: Максимальная цена, при которой месячная выручка будет не менее 160 тыс. руб., составляет:
    • p = 8 тыс. руб.

Таким образом, максимальная цена p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 160 тыс. руб., равна 8 тыс. руб.