Какова максимальная цена p (в тыс. руб.), при которой месячная выручка r(p) предприятия-монополиста будет не менее 600 тыс. руб., если зависимость объёма спроса q (единиц в месяц) от цены p задаётся формулой q=100-4p, а выручка рассчитывается по формуле r(p)=q·p?

Математика 11 класс Экономическая математика максимальная цена p месячная выручка r(p) предприятие-монополист зависимость объема спроса формула q=100-4p выручка r(p)=q·p Новый

Чтобы найти максимальную цену p, при которой месячная выручка r(p) предприятия-монополиста будет не менее 600 тыс. руб., необходимо выполнить следующие шаги:

1. Запишем формулу выручки: Выручка r(p) рассчитывается как произведение объёма спроса q и цены p. То есть:
• r(p) = q * p
2. Подставим зависимость объёма спроса q: Из условия задачи мы знаем, что q = 100 - 4p. Подставим это выражение в формулу выручки:
• r(p) = (100 - 4p) * p
3. Раскроем скобки: Упростим выражение для выручки:
• r(p) = 100p - 4p^2
4. Зададим условие на выручку: Мы знаем, что выручка должна быть не менее 600 тыс. руб. То есть:
• 100p - 4p^2 ≥ 600
5. Переносим все в одну сторону: Приведем неравенство к стандартному виду:
• 4p^2 - 100p + 600 ≤ 0
6. Решим квадратное неравенство: Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
• 4p^2 - 100p + 600 = 0
7. Вычислим дискриминант:
• D = b^2 - 4ac = (-100)^2 - 4 * 4 * 600 = 10000 - 9600 = 400
8. Находим корни: Используем формулу корней квадратного уравнения:
• p1,2 = (-b ± √D) / (2a) = (100 ± √400) / (8)
• p1 = (100 + 20) / 8 = 15
• p2 = (100 - 20) / 8 = 10
9. Определяем промежуток: Теперь, чтобы найти, где выполняется неравенство 4p^2 - 100p + 600 ≤ 0, мы анализируем знаки на промежутках:
• Корни: p1 = 10, p2 = 15
• Промежутки: (-∞, 10), (10, 15), (15, +∞)
• Тестируем значения из промежутков:
• Для p < 10, например, p = 0: 4(0)^2 - 100(0) + 600 = 600 > 0 (положительно)
• Для 10 < p < 15, например, p = 12: 4(12)^2 - 100(12) + 600 = -48 < 0 (отрицательно)
• Для p > 15, например, p = 16: 4(16)^2 - 100(16) + 600 = 96 > 0 (положительно)
10. Вывод: Неравенство выполняется в промежутке [10, 15]. Таким образом, максимальная цена p, при которой месячная выручка r(p) будет не менее 600 тыс. руб., равна 15 тыс. руб.

Ответ: Максимальная цена p составляет 15 тыс. руб.