Чтобы решить задачу, начнем с уравнения:

b(x+1)² + 2 = x²

Перепишем его в более удобной форме, вынося все в одну сторону:

b(x+1)² - x² + 2 = 0

Теперь раскроем скобки:

b(x² + 2x + 1) - x² + 2 = 0

Это можно упростить до:

(b - 1)x² + 2bx + (b + 2) = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение вида:

Ax² + Bx + C = 0

где:

• A = b - 1
• B = 2b
• C = b + 2

Для того чтобы уравнение имело два различных корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля:

D = B² - 4AC > 0

Подставим значения A, B и C в формулу для дискриминанта:

D = (2b)² - 4(b - 1)(b + 2)

Теперь упростим это выражение:

1. Вычислим (2b)²: это 4b².
2. Теперь вычислим 4(b - 1)(b + 2):
• Сначала раскроем скобки: (b - 1)(b + 2) = b² + 2b - b - 2 = b² + b - 2.
• Теперь умножим на 4: 4(b² + b - 2) = 4b² + 4b - 8.
3. Теперь подставим это в дискриминант:
• D = 4b² - (4b² + 4b - 8) = 4b² - 4b² - 4b + 8 = -4b + 8.

Теперь у нас есть неравенство:

-4b + 8 > 0

Решим его:

1. Переносим -4b на правую сторону: 8 > 4b.
2. Делим обе стороны на 4: 2 > b.

Это означает, что b должно быть меньше 2. Поскольку b является целым неотрицательным числом, возможные значения b:

• b = 0
• b = 1

Теперь найдем сумму всех целых неотрицательных b:

0 + 1 = 1

Таким образом, ответ на задачу:

Сумма всех целых неотрицательных b, для которых уравнение имеет два различных корня, равна 1.