Какова сумма всех натуральных чисел n, при которых выражение n²+7n+1 является квадратом некоторого натурального числа?

Математика 11 класс Квадратные уравнения сумма натуральных чисел выражение n²+7n+1 квадрат натурального числа математика 11 класс решение уравнения анализ квадратов задачи на натуральные числа Новый

Для решения данной задачи начнем с того, что нам нужно выяснить, при каких значениях n выражение n² + 7n + 1 является квадратом некоторого натурального числа. Обозначим это натуральное число как m, тогда мы можем записать следующее уравнение:

n² + 7n + 1 = m²

Теперь мы можем привести это уравнение к стандартному виду, переместив все члены в одну сторону:

n² + 7n + (1 - m²) = 0

Это квадратное уравнение относительно n. Чтобы найти его корни, воспользуемся дискриминантом:

D = b² - 4ac

В нашем случае:

• a = 1
• b = 7
• c = 1 - m²

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

D = 7² - 4 * 1 * (1 - m²) = 49 - 4(1 - m²) = 49 - 4 + 4m² = 45 + 4m²

Дискриминант D должен быть неотрицательным, чтобы у уравнения были действительные корни. Таким образом, мы получаем неравенство:

45 + 4m² ≥ 0

Это неравенство всегда выполняется для любых m, так как 4m² всегда неотрицательно. Теперь найдем корни нашего квадратного уравнения:

n = (-b ± √D) / (2a) = (-7 ± √(45 + 4m²)) / 2

Корни будут натуральными числами, если выражение (-7 ± √(45 + 4m²)) / 2 будет натуральным. Рассмотрим оба случая:

1. Случай 1: n = (-7 + √(45 + 4m²)) / 2
2. Случай 2: n = (-7 - √(45 + 4m²)) / 2 (этот случай не подходит, так как результат будет отрицательным)

Теперь у нас есть выражение для n:

n = (-7 + √(45 + 4m²)) / 2

Для того чтобы n было натуральным, необходимо, чтобы выражение -7 + √(45 + 4m²) было четным и положительным. Это значит, что √(45 + 4m²) должно быть больше 7. Таким образом, мы можем записать следующее неравенство:

√(45 + 4m²) > 7

Возведем обе стороны в квадрат:

45 + 4m² > 49

Упростим неравенство:

4m² > 4

m² > 1

Это означает, что m > 1 или m < -1. Поскольку m - натуральное число, мы имеем только m ≥ 2.

Теперь подставим m = 2, 3, 4 и так далее, чтобы найти соответствующие значения n:

• Если m = 2: n = (-7 + √(45 + 4*2²)) / 2 = (-7 + √(45 + 16)) / 2 = (-7 + √61) / 2 (не натуральное)
• Если m = 3: n = (-7 + √(45 + 4*3²)) / 2 = (-7 + √(45 + 36)) / 2 = (-7 + √81) / 2 = (-7 + 9) / 2 = 1 (натуральное)
• Если m = 4: n = (-7 + √(45 + 4*4²)) / 2 = (-7 + √(45 + 64)) / 2 = (-7 + √109) / 2 (не натуральное)
• Если m = 5: n = (-7 + √(45 + 4*5²)) / 2 = (-7 + √(45 + 100)) / 2 = (-7 + √145) / 2 (не натуральное)
• Если m = 6: n = (-7 + √(45 + 4*6²)) / 2 = (-7 + √(45 + 144)) / 2 = (-7 + √189) / 2 (не натуральное)
• Если m = 7: n = (-7 + √(45 + 4*7²)) / 2 = (-7 + √(45 + 196)) / 2 = (-7 + √241) / 2 (не натуральное)

Таким образом, единственное натуральное число n, которое удовлетворяет условию задачи - это n = 1. Сумма всех таких n равна 1.

Ответ: 1