Какова точечная оценка математического ожидания роста 5 мальчиков в возрасте 2-х лет, если их рост представлен следующими значениями: 92, 91, 96, 91, 92? Также, как построить 95% доверительный интервал для этой случайной величины?

Математика 11 класс Математическая статистика точечная оценка математическое ожидание рост мальчиков доверительный интервал случайная величина Новый

Для начала, давайте найдем точечную оценку математического ожидания роста 5 мальчиков. Точечная оценка математического ожидания (среднее значение) рассчитывается как среднее арифметическое всех наблюдаемых значений.

1. Сложим все значения роста:
• 92 + 91 + 96 + 91 + 92 = 462
2. Теперь разделим полученную сумму на количество наблюдений (в нашем случае, это 5):
• 462 / 5 = 92.4
3. Таким образом, точечная оценка математического ожидания роста мальчиков составляет 92.4 см.

Теперь перейдем к построению 95% доверительного интервала для этой случайной величины. Для этого нам понадобится использовать стандартное отклонение и распределение Стьюдента, так как у нас небольшая выборка.

1. Сначала найдем выборочное стандартное отклонение. Для этого вычислим дисперсию:
• Сначала находим разности между каждым значением и средним, затем возводим их в квадрат:
• (92 - 92.4)² = 0.16
• (91 - 92.4)² = 1.96
• (96 - 92.4)² = 12.96
• (91 - 92.4)² = 1.96
• (92 - 92.4)² = 0.16
• Теперь находим сумму квадратов отклонений:
• 0.16 + 1.96 + 12.96 + 1.96 + 0.16 = 17.2
• Дисперсия (S²) равна сумме квадратов отклонений, деленной на (n - 1), где n - количество наблюдений:
• S² = 17.2 / (5 - 1) = 4.3
• Теперь найдем стандартное отклонение (S):
• S = √4.3 ≈ 2.07
• Теперь мы можем построить доверительный интервал. Для этого нам нужно найти значение t-критерия для 95% доверительного интервала с 4 степенями свободы (n - 1 = 5 - 1 = 4). Обычно это значение можно найти в таблице распределения Стьюдента. Для 95% доверительного интервала и 4 степеней свободы t ≈ 2.776.
• Формула для доверительного интервала выглядит так:
• Среднее ± t * (S / √n)
• Теперь подставим наши значения:
• 92.4 ± 2.776 * (2.07 / √5)
• 92.4 ± 2.776 * 0.926 ≈ 92.4 ± 2.57
• Таким образом, доверительный интервал будет:
• 92.4 - 2.57 ≈ 89.83
• 92.4 + 2.57 ≈ 94.97

В итоге, 95% доверительный интервал для математического ожидания роста мальчиков составляет примерно (89.83 см, 94.97 см).