Для начала, давайте найдем точечную оценку математического ожидания роста 5 мальчиков. Точечная оценка математического ожидания (среднее значение) рассчитывается как среднее арифметическое всех наблюдаемых значений.

1. Сложим все значения роста:
• 92 + 91 + 96 + 91 + 92 = 462
2. Теперь разделим полученную сумму на количество наблюдений (в нашем случае, это 5):
• 462 / 5 = 92.4
3. Таким образом, точечная оценка математического ожидания роста мальчиков составляет 92.4 см.

Теперь перейдем к построению 95% доверительного интервала для этой случайной величины. Для этого нам понадобится использовать стандартное отклонение и распределение Стьюдента, так как у нас небольшая выборка.

1. Сначала найдем выборочное стандартное отклонение. Для этого вычислим дисперсию:
• Сначала находим разности между каждым значением и средним, затем возводим их в квадрат:
• (92 - 92.4)² = 0.16
• (91 - 92.4)² = 1.96
• (96 - 92.4)² = 12.96
• (91 - 92.4)² = 1.96
• (92 - 92.4)² = 0.16
• Теперь находим сумму квадратов отклонений:
• 0.16 + 1.96 + 12.96 + 1.96 + 0.16 = 17.2
• Дисперсия (S²) равна сумме квадратов отклонений, деленной на (n - 1), где n - количество наблюдений:
• S² = 17.2 / (5 - 1) = 4.3
• Теперь найдем стандартное отклонение (S):
• S = √4.3 ≈ 2.07
• Теперь мы можем построить доверительный интервал. Для этого нам нужно найти значение t-критерия для 95% доверительного интервала с 4 степенями свободы (n - 1 = 5 - 1 = 4). Обычно это значение можно найти в таблице распределения Стьюдента. Для 95% доверительного интервала и 4 степеней свободы t ≈ 2.776.
• Формула для доверительного интервала выглядит так:
• Среднее ± t * (S / √n)
• Теперь подставим наши значения:
• 92.4 ± 2.776 * (2.07 / √5)
• 92.4 ± 2.776 * 0.926 ≈ 92.4 ± 2.57
• Таким образом, доверительный интервал будет:
• 92.4 - 2.57 ≈ 89.83
• 92.4 + 2.57 ≈ 94.97

В итоге, 95% доверительный интервал для математического ожидания роста мальчиков составляет примерно (89.83 см, 94.97 см).