Какова траектория движения точки М(x;y), если сумма квадратов расстояний от нее до начала координат и до точки А(-3:0) равна 9?

Математика 11 класс Геометрические места точек траектория движения точки сумма квадратов расстояний точка М(x;y) начало координат точка А(-3:0) уравнение окружности геометрия математика координаты аналитическая геометрия Новый

Для решения задачи необходимо определить, что означает условие о сумме квадратов расстояний от точки М(x; y) до начала координат (точка O(0; 0)) и до точки A(-3; 0).

Сначала найдем расстояние от точки М до начала координат O. Это расстояние можно выразить с помощью формулы:

• Расстояние от М до O: R1 = √(x^2 + y^2).

Теперь найдем расстояние от точки М до точки A(-3; 0):

• Расстояние от М до A: R2 = √((x + 3)^2 + (y - 0)^2) = √((x + 3)^2 + y^2).

Согласно условию задачи, сумма квадратов этих расстояний равна 9:

• R1^2 + R2^2 = 9.

Подставим выражения для R1 и R2:

• (√(x^2 + y^2))^2 + (√((x + 3)^2 + y^2))^2 = 9.

Упрощая, получаем:

• x^2 + y^2 + (x + 3)^2 + y^2 = 9.

Теперь раскроем скобки:

• x^2 + y^2 + (x^2 + 6x + 9) + y^2 = 9.

Соберем подобные слагаемые:

• 2x^2 + 2y^2 + 6x + 9 = 9.

Упростим уравнение, вычитая 9 из обеих сторон:

• 2x^2 + 2y^2 + 6x = 0.

Теперь разделим все слагаемые на 2:

• x^2 + y^2 + 3x = 0.

Чтобы привести уравнение к более удобной форме, выразим y^2:

• y^2 = -x^2 - 3x.

Теперь у нас есть уравнение, описывающее траекторию точки М. Это уравнение представляет собой параболу, открывающуюся вниз, так как коэффициент при x^2 отрицательный.

Таким образом, траектория движения точки М(x; y) описывается уравнением:

y^2 = -x^2 - 3x.

Это уравнение задает параболу, и точка М будет двигаться по этой параболе, удовлетворяя условию о сумме квадратов расстояний.