Чтобы найти среднее арифметическое корней данного уравнения, сначала нужно решить само уравнение. Уравнение имеет вид:

(x² + 6x)² - 5(x² + 6x) - 24 = 0

Мы можем заметить, что выражение (x² + 6x) повторяется. Это позволяет нам сделать замену:

• Пусть y = x² + 6x.

Тогда уравнение примет вид:

y² - 5y - 24 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу квадратного уравнения:

• y = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

В нашем случае a = 1, b = -5, c = -24. Подставим эти значения в формулу:

• y = (5 ± √((-5)² - 4 * 1 * (-24))) / 2
• y = (5 ± √(25 + 96)) / 2
• y = (5 ± √121) / 2
• y = (5 ± 11) / 2

Теперь найдем значения y:

1. y₁ = (5 + 11) / 2 = 16 / 2 = 8
2. y₂ = (5 - 11) / 2 = -6 / 2 = -3

Теперь вернемся к исходной переменной x. Мы знаем, что:

• x² + 6x = 8
• x² + 6x = -3

Решим каждое из этих уравнений.

Первое уравнение:

• x² + 6x - 8 = 0

Решим его через дискриминант:

• D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * (-8) = 36 + 32 = 68
• x = (-b ± √D) / 2a
• x = (-6 ± √68) / 2

Корни:

1. x₁ = (-6 + √68) / 2
2. x₂ = (-6 - √68) / 2

Второе уравнение:

• x² + 6x + 3 = 0

Решим его через дискриминант:

• D = b² - 4ac = 6² - 4 * 1 * 3 = 36 - 12 = 24
• x = (-b ± √D) / 2a
• x = (-6 ± √24) / 2

Корни:

1. x₃ = (-6 + √24) / 2
2. x₄ = (-6 - √24) / 2

Теперь найдем среднее арифметическое всех корней:

• Среднее арифметическое = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

Так как корни выражены через квадратные корни, точное значение может быть найдено при вычислении каждого корня. Однако, в данном случае, мы можем использовать свойства квадратного уравнения:

Сумма корней любого квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 равна -b/a. Таким образом, для уравнения y² - 5y - 24 = 0 сумма корней y₁ и y₂ равна 5. Поскольку мы вернулись к переменной x, среднее арифметическое корней будет равно 5/2.

Таким образом, среднее арифметическое корней уравнения (x² + 6x)² - 5(x² + 6x) - 24 = 0 равно 2.5.