Каковы все значения α, при которых неравенство

cos³X - αsin²X + 5α²cosX + α - 1 ≤ 0

выполняется для любых X?

______________

Пожалуйста, помогите!!

Математика 11 класс Неравенства с параметрами неравенство значения α cos3x αsin²X 5α²cosX α - 1 решения неравенства математика 11 класс алгебра Тригонометрия Новый

Чтобы решить неравенство cos³X - αsin²X + 5α²cosX + α - 1 ≤ 0 для любых X, начнем с того, что необходимо выразить его в удобной форме.

Сначала заметим, что sin²X = 1 - cos²X. Подставим это в неравенство:

cos³X - α(1 - cos²X) + 5α²cosX + α - 1 ≤ 0

Раскроем скобки:

cos³X + αcos²X + 5α²cosX + (α - 1) ≤ 0

Теперь обозначим y = cosX. Тогда неравенство преобразуется в:

y³ + αy² + 5α²y + (α - 1) ≤ 0

Теперь мы имеем кубическое неравенство относительно y. Чтобы это неравенство выполнялось для любых X, необходимо, чтобы кубический многочлен не имел действительных корней или имел корни, которые не выходят за пределы отрезка [-1, 1], так как y = cosX принимает значения только в этом диапазоне.

Для этого рассмотрим дискриминант D кубического многочлена:

Для многочлена y³ + αy² + 5α²y + (α - 1) необходимо, чтобы его производная 3y² + 2αy + 5α² не имела действительных корней или имела один корень. Для этого найдем дискриминант производной:

D' = (2α)² - 4 * 3 * 5α² = 4α² - 60α² = -56α²

Чтобы D' ≤ 0, необходимо, чтобы α² ≥ 0, что всегда выполняется. Таким образом, производная всегда не имеет действительных корней, и функция является монотонной.

Теперь нам нужно проверить, какие значения α обеспечивают, чтобы многочлен y³ + αy² + 5α²y + (α - 1) был не положительным на отрезке [-1, 1]. Для этого подставим границы:

1. Подставим y = -1:
-1 + α - 5α² + (α - 1) ≤ 0
2. Упрощаем: 2α - 5α² - 2 ≤ 0
3. Подставим y = 1:
1 + α + 5α² + (α - 1) ≤ 0
4. Упрощаем: 6α² + α ≤ 0

Теперь решим эти два неравенства:

1. 2α - 5α² - 2 ≤ 0:

Решаем квадратное неравенство: -5α² + 2α - 2 ≤ 0. Найдем корни:

α = (2 ± √(4 - 4*(-5)*(-2))) / (2*(-5)) = (2 ± √(-36)) / -10.

Корни не действительные, значит, это неравенство выполняется для всех α.

2. 6α² + α ≤ 0:

Решаем: α(6α + 1) ≤ 0. Это неравенство выполняется, когда α ≤ 0 или α ≥ -1/6.

Таким образом, объединяя условия, мы получаем:

α ∈ [-1/6, 0]

Итак, все значения α, при которых неравенство выполняется для любых X, это [-1/6, 0].