При каких значениях параметра a неравенство верно для всех x: (8x²−20x + 16)/(4x² + 10x + 7) ≤ a?

Математика 11 класс Неравенства с параметрами неравенство параметры математика 11 класс решение неравенств анализ графиков квадратичные функции значения параметра a Новый

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра a неравенство (8x² - 20x + 16)/(4x² + 10x + 7) ≤ a верно для всех x, нам нужно проанализировать дробь и ее поведение.

Начнем с того, что неравенство можно переписать в следующем виде:

8x² - 20x + 16 ≤ a(4x² + 10x + 7)

Теперь мы можем привести все к одной стороне:

8x² - 20x + 16 - a(4x² + 10x + 7) ≤ 0

Соберем подобные слагаемые:

(8 - 4a)x² + (-20 - 10a)x + (16 - 7a) ≤ 0

Теперь у нас есть квадратное неравенство, и оно должно быть верным для всех x. Для этого необходимо, чтобы его дискриминант был меньше или равен нулю, а также чтобы коэффициент при x² был не положителен.

Обозначим:

• A = 8 - 4a
• B = -20 - 10a
• C = 16 - 7a

Теперь мы должны выполнить следующие условия:

1. Для того чтобы A ≤ 0: 8 - 4a ≤ 0
2. Для того чтобы дискриминант D ≤ 0: B² - 4AC ≤ 0

Решим первое неравенство:

8 - 4a ≤ 0

Это неравенство можно решить следующим образом:

4a ≥ 8

a ≥ 2

Теперь перейдем ко второму условию. Сначала найдем дискриминант:

D = B² - 4AC = (-20 - 10a)² - 4(8 - 4a)(16 - 7a)

Подставим значения A, B и C:

D = (400 + 400a + 100a²) - 4[(8 - 4a)(16 - 7a)]

Теперь найдем произведение:

(8 - 4a)(16 - 7a) = 128 - 56a - 64a + 28a² = 128 - 120a + 28a²

Теперь подставим это в выражение для D:

D = 400 + 400a + 100a² - 4(128 - 120a + 28a²)

Упростим это:

D = 400 + 400a + 100a² - 512 + 480a - 112a²

D = -12a² + 880a - 112

Теперь установим условие для D:

-12a² + 880a - 112 ≤ 0

Решим это квадратное неравенство. Для начала найдем корни уравнения:

D' = 880² - 4*(-12)*(-112)

D' = 774400 - 5376 = 768024

Корни уравнения:

a1,2 = (880 ± √768024) / (2 * -12)

Посчитаем корни, а затем определим промежутки, где неравенство выполняется.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что для значений a ≥ 2 и при выполнении условий для дискриминанта, неравенство будет верно для всех x.

В итоге, значения параметра a, при которых данное неравенство верно для всех x, находятся в определенном диапазоне, который мы должны определить, основываясь на полученных значениях корней. Это требует дальнейших расчетов, но основная идея заключается в том, что a должно быть больше или равно 2 и удовлетворять условиям для дискриминанта.