Какой объем имеет прямой параллелепипед, если его основание имеет стороны длиной 8 см и 15 см, образующие угол в 60 градусов, а меньшая диагональ образует угол в 30 градусов с плоскостью основания?

Математика 11 класс Объем прямого параллелепипеда объем параллелепипеда прямой параллелепипед математика 11 класс площадь основания угол между сторонами меньшая диагональ задачи по геометрии Новый

Для нахождения объема прямого параллелепипеда, нам необходимо сначала найти высоту и площадь основания. Площадь основания можно вычислить, используя формулу для площади треугольника, так как основание имеет форму трапеции, образованной двумя сторонами и углом между ними.

Шаг 1: Найдем площадь основания.

Стороны основания равны 8 см и 15 см, угол между ними равен 60 градусов. Площадь треугольника можно найти по формуле:

Площадь = 1/2 * a * b * sin(угол),

где a и b - длины сторон, а угол - угол между ними.

• a = 8 см
• b = 15 см
• угол = 60 градусов

Теперь подставим значения:

Площадь = 1/2 * 8 * 15 * sin(60).

Значение sin(60) равно корень из 3 делённое на 2, то есть примерно 0.866.

Подставляем:

Площадь = 1/2 * 8 * 15 * 0.866 = 60 * 0.866 = 51.96 см² (примерно).

Шаг 2: Найдем высоту параллелепипеда.

По условию задачи, меньшая диагональ образует угол в 30 градусов с плоскостью основания. Чтобы найти высоту, воспользуемся тригонометрией.

Пусть h - высота параллелепипеда, а d - длина меньшей диагонали основания. Мы знаем, что:

sin(угол) = h / d.

Для начала найдем длину меньшей диагонали:

Длина диагонали d можно найти по формуле:

d = корень из (a² + b² - 2ab * cos(угол)).

Подставим значения:

d = корень из (8² + 15² - 2 * 8 * 15 * cos(60)).

Значение cos(60) равно 0.5.

Теперь подставляем:

d = корень из (64 + 225 - 2 * 8 * 15 * 0.5).

Это будет:

d = корень из (64 + 225 - 120) = корень из 169 = 13 см.

Теперь, зная d, можем найти высоту h:

sin(30) = h / 13.

Значение sin(30) равно 0.5.

Подставляем:

0.5 = h / 13.

Отсюда h = 0.5 * 13 = 6.5 см.

Шаг 3: Найдем объем параллелепипеда.

Объем V параллелепипеда можно найти по формуле:

V = Площадь основания * высота.

Подставляем значения:

V = 51.96 см² * 6.5 см = 337.74 см³ (примерно).

Ответ: Объем прямого параллелепипеда составляет примерно 337.74 см³.